Determine o valor de k para que o sistema
\left\{\begin{array}{l}3 z-4 y=1 \\\\ 4 x-2 z=2 \\\\ 2 y-3 x=3-k\end{array}\right. seja indeterminado.
Resposta:
k=5

Passo 1

Vamos estudar o sistema linear
\begin{cases} 3z - 4y = 1,\\\\ 4x - 2z = 2,\\\\ 2y - 3x = 3 - k \end{cases}
querendo que ele seja indeterminado (infinitas soluções). Em teoria de sistemas lineares, isso só ocorre se a matriz de coeficientes for singular \det=0 e o sistema ainda for consistente (posto da matriz de coeficientes = posto da matriz ampliada < número de incógnitas).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 3\\\\ 4 & 0 & -2\\\\ -3 & 2 & 0 \end{pmatrix}
e calculamos o determinante:
\det(A) =0\cdot\det\!\begin{pmatrix}0&-2\\\ 2&0\end{pmatrix} -(-4)\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&-2\\\ -3&0\end{pmatrix} +3\cdot\det\!\begin{pmatrix}4&0\\\ -3&2\end{pmatrix} =-24+24=0.
Como \det(A)=0 para todo k, o sistema não tem solução única.

Passo 3

Para achar a condição de consistência, tomamos x como parâmetro livre e usamos as duas primeiras equações para expressar z e y em função de x.
Da equação
4x-2z=2
vem
z=2x-1.
Da equação
3z-4y=1
substituindo z=2x-1 obtemos
3(2x-1)-4y=1 \quad\Longrightarrow\quad 6x-3-4y=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{6x-4}{4}=\frac{3x-2}{2}.

Passo 4

Agora impomos a terceira equação
2y-3x=3-k.
Substituímos y=\tfrac{3x-2}{2}:
2\!\biggl(\frac{3x-2}{2}\biggr)-3x=3-k \quad\Longrightarrow\quad 3x-2-3x=3-k \quad\Longrightarrow\quad -2=3-k \quad\Longrightarrow\quad k=5.
Para k=5, a terceira equação fica redundante e o sistema é consistente com posto 2<3, ou seja, indeterminado.

Resposta

k=5

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