Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 2 / 3^{+}} \frac{x^{2}}{4-9 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilateral
\lim_{x\to \tfrac{2}{3}^{+}} \frac{x^{2}}{4-9x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é a fração racional \dfrac{x^{2}}{4-9x^{2}}.
  • O ponto de aproximação é x=\tfrac{2}{3}, pela direita (valores de x ligeiramente maiores que \tfrac{2}{3}).
    O objetivo é determinar o comportamento da expressão quando x se aproxima de \tfrac{2}{3} por valores maiores.

Passo 2

Verificar onde o denominador se anula, porque aí pode haver problema (assíntota vertical).
Resolver 4-9x^{2}=0:
4-9x^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 9x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=\frac{4}{9} \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{2}{3}.
Portanto o denominador é zero em x=\pm\tfrac{2}{3}; estamos interessados em x=\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Fatorar o denominador para analisar o sinal próximo de x=\tfrac{2}{3}:
4-9x^{2}=(2-3x)(2+3x).
Quando x está próximo de \tfrac{2}{3}:
  • o fator 2+3x vale 2+3\cdot\tfrac{2}{3}=2+2=4 em x=\tfrac{2}{3}, então é positivo e fica aproximadamente 4 para x perto de \tfrac{2}{3};
  • o fator 2-3x vale 2-3\cdot\tfrac{2}{3}=0 em x=\tfrac{2}{3}. Para x>\tfrac{2}{3} (aproximação pela direita) temos 2-3x<0 e é um valor pequeno em módulo quando x está muito perto de \tfrac{2}{3}.

Passo 4

Analisar o sinal do numerador e do denominador para x\to\tfrac{2}{3}^{+}.
  • O numerador x^{2} é positivo e tende a \left(\tfrac{2}{3}\right)^{2}=\tfrac{4}{9} quando x\to\tfrac{2}{3}.
  • Pelo passo anterior, o denominador (2-3x)(2+3x) tende a 0 com o fator (2-3x) negativo (pois x>\tfrac{2}{3}) e (2+3x) positivo. Logo o denominador tende a 0 por valores negativos (ou seja, é um número negativo de módulo pequeno).
Portanto, para x vindo pela direita de \tfrac{2}{3} temos numerador próximo de \tfrac{4}{9}>0 e denominador é um número negativo cujo módulo vai para 0.

Passo 5

Concluir o comportamento da fração: dividir um número positivo próximo de \tfrac{4}{9} por um número negativo cujo módulo vai a 0 produz um quociente que é negativo e cujo módulo cresce sem limite. Em outras palavras, os valores da função tornam-se arbitrariamente grandes em magnitude e negativos quando x se aproxima de \tfrac{2}{3} pela direita.
Para ver isso numericamente (ilustração):
\text{Se }x=0{,}67>\tfrac{2}{3},\quad x^{2}=0{,}4489,\quad 4-9x^{2}=4-9\cdot0{,}4489=-0{,}0401,
\frac{x^{2}}{4-9x^{2}}\approx\frac{0{,}4489}{-0{,}0401}\approx-11{,}19.
\text{Se }x=0{,}667\text{ (mais perto de }\tfrac{2}{3}\text{)},\quad x^{2}\approx0{,}444889,\quad 4-9x^{2}\approx-0{,}004001,
\frac{x^{2}}{4-9x^{2}}\approx\frac{0{,}444889}{-0{,}004001}\approx-111{,}2.
Esses exemplos mostram que, ao nos aproximarmos pela direita, os valores ficam negativos e de módulo cada vez maior.

Passo 6

Com base na análise e na ilustração numérica, concluímos que a expressão não converge para um número finito quando x\to\tfrac{2}{3}^{+}; em vez disso, diverge para menos infinito (os valores tornam-se arbitrariamente negativos).

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados