Ache todos os números para os quais f é descontínua.
38 f(x)=\frac{x+2}{x^{3}-8}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os números nos quais a função
f(x)=\frac{x+2}{x^{3}-8}
é descontínua. As informações que temos do enunciado são:
  • A função está dada pela expressão racional acima.
  • Trabalhamos no conjunto dos números reais (procuramos pontos reais de descontinuidade).
  • Qualquer ponto onde o denominador x^{3}-8 seja zero torna a expressão indefinida (e, portanto, é candidato a descontinuidade).

Passo 2

Conceito útil (explicadinho): uma função f é contínua num ponto c se
\lim_{x\to c} f(x)=f\text{(c)}.
Para funções dadas por quociente de polinômios (funções racionais) vale uma regra prática muito usada na prova: polinômios são contínuos em todo lugar, e o quociente de dois polinômios é contínuo em todo ponto onde o denominador não é zero. Logo, as únicas possíveis descontinuidades de f estão exatamente nos pontos reais onde o denominador x^{3}-8 se anula. Nosso trabalho é achar esses pontos e ver que tipo de descontinuidade ocorre (removível ou não).

Passo 3

Vamos fatorar o denominador usando a identidade de diferença de cubos
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aplicando com a=x e b=2 obtemos
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4).

Passo 4

Encontrar raízes reais do denominador significa resolver
(x-2)(x^{2}+2x+4)=0.
Das duas fatores:
  1. x-2=0 x=2.
  2. Para x^{2}+2x+4=0 calculamos o discriminante
\Delta = 2^{2}-4\cdot 1\cdot 4 =4-16=-12.
Como \Delta<0, a equação quadrática não tem raízes reais. Portanto, o único zero real do denominador é x=2.

Passo 5

Verificamos se há possibilidade de cancelar o fator x-2 com o numerador (o que tornaria a descontinuidade removível). Avaliando o numerador em x=2:
2+2=4\neq 0.
Como o numerador não se anula em x=2, não há fator comum x-2 para cancelar. Então a função não está definida em x=2 e não existe uma simplificação que a torne contínua ali — a descontinuidade não é removível por cancelamento.

Passo 6

Para entender o tipo de descontinuidade (e para treinar cálculo de limites), analisamos os limites laterais em x=2. Defina q(x)=x^{2}+2x+4. Note que
q(2)=2^{2}+2\cdot 2+4=4+4+4=12>0.
Como q é contínua e q(2)>0, para x próximo de 2 temos q(x)>0. Pelo fatoração
x^{3}-8=(x-2)\,q(x),
o sinal do denominador perto de 2 é o mesmo do sinal de x-2. O numerador tende a 4>0 quando x\to 2. Portanto:
  • Se x\to 2^{+} então x-2>0 pequeno e o denominador é pequeno e positivo, logo f(x)\to +\infty.
  • Se x\to 2^{-} então x-2<0 pequeno e o denominador é pequeno e negativo, logo f(x)\to -\infty.
Assim os limites laterais são infinitos de sinais opostos: a descontinuidade em x=2 é uma assíntota vertical (descontinuidade essencial/infinita), não removível.

Passo 7

Conclusão final: a única descontinuidade real de f ocorre em x=2. Em qualquer outro ponto real o denominador é diferente de zero, e como quociente de polinômios a função é contínua.

Resposta

\,2

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