Ache todos os números para os quais
é descontínua.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os números nos quais a função
é descontínua. As informações que temos do enunciado são:
- A função está dada pela expressão racional acima.
- Trabalhamos no conjunto dos números reais (procuramos pontos reais de descontinuidade).
- Qualquer ponto onde o denominador
seja zero torna a expressão indefinida (e, portanto, é candidato a descontinuidade).
Passo 2
Conceito útil (explicadinho): uma função
é contínua num ponto
se
Para funções dadas por quociente de polinômios (funções racionais) vale uma regra prática muito usada na prova: polinômios são contínuos em todo lugar, e o quociente de dois polinômios é contínuo em todo ponto onde o denominador não é zero. Logo, as únicas possíveis descontinuidades de
estão exatamente nos pontos reais onde o denominador
se anula. Nosso trabalho é achar esses pontos e ver que tipo de descontinuidade ocorre (removível ou não).
Passo 3
Vamos fatorar o denominador usando a identidade de diferença de cubos
Aplicando com
e
obtemos
Passo 4
Encontrar raízes reais do denominador significa resolver
Das duas fatores:
-
dá . -
Para
calculamos o discriminante
Como
, a equação quadrática não tem raízes reais. Portanto, o único zero real do denominador é
.
Passo 5
Verificamos se há possibilidade de cancelar o fator
com o numerador (o que tornaria a descontinuidade removível). Avaliando o numerador em
:
Como o numerador não se anula em
, não há fator comum
para cancelar. Então a função não está definida em
e não existe uma simplificação que a torne contínua ali — a descontinuidade não é removível por cancelamento.
Passo 6
Para entender o tipo de descontinuidade (e para treinar cálculo de limites), analisamos os limites laterais em
. Defina
. Note que
Como
é contínua e
, para
próximo de
temos
. Pelo fatoração
o sinal do denominador perto de
é o mesmo do sinal de
. O numerador tende a
quando
. Portanto:
- Se
então pequeno e o denominador é pequeno e positivo, logo . - Se
então pequeno e o denominador é pequeno e negativo, logo .
Assim os limites laterais são infinitos de sinais opostos: a descontinuidade em
é uma assíntota vertical (descontinuidade essencial/infinita), não removível.
Passo 7
Conclusão final: a única descontinuidade real de
ocorre em
. Em qualquer outro ponto real o denominador é diferente de zero, e como quociente de polinômios a função é contínua.