Ache para cada matriz, se possível, uma matriz
que diagonaliza
e determine
.
Passo 1
O enunciado pede para diagonalizar a matriz
ou seja, achar uma matriz
invertível cujas colunas sejam autovetores de
e calcular
onde
é diagonal com os autovalores de
. Vamos usar os conceitos de polinômio característico, autovalores e autovetores.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
:
Expandindo pela segunda linha (único elemento não nulo em coluna 2):
Expandindo o fator interno:
Logo
Passo 3
Fatorando
obtemos
isto é,
ou
. Do fator
vem
.
Portanto, os autovalores são
Portanto, os autovalores são
todos distintos, garantindo que
é diagonalizável.
Passo 4
Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para
Da 1ª equação
. Tomando
obtemos o autovetor
Para
, resolvemos
:
Da 2ª equação
. Tomando
dá
Para
, resolvemos
:
Da 2ª equação
. Tomando
obtemos
Passo 5
Formamos a matriz
cujas colunas são
:
Como os autovalores são distintos,
é invertível. Da teoria,
onde
Resposta
A matriz que diagonaliza
é
e