Ache para cada matriz, se possível, uma matriz P que diagonaliza A e determine P^{-1} A P.
\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para diagonalizar a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}
ou seja, achar uma matriz P invertível cujas colunas sejam autovetores de A e calcular
P^{-1}AP = D
onde D é diagonal com os autovalores de A. Vamos usar os conceitos de polinômio característico, autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 2 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda linha (único elemento não nulo em coluna 2):
\det(A - \lambda I) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda & 3\\\ 2 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(2-\lambda)-6\bigr).
Expandindo o fator interno:
(1-\lambda)(2-\lambda)-6 =\bigl(2-3\lambda+\lambda^2\bigr)-6 =\lambda^2-3\lambda-4.
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\det(A - \lambda I)=(1-\lambda)(\lambda^2-3\lambda-4).

Passo 3

Fatorando \lambda^2-3\lambda-4=0 obtemos
\lambda = \frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}=\frac{3\pm5}{2},
isto é, \lambda=4 ou \lambda=-1. Do fator (1-\lambda) vem \lambda=1.
Portanto, os autovalores são
\lambda_1=1,\quad \lambda_2=4,\quad \lambda_3=-1,
todos distintos, garantindo que A é diagonalizável.

Passo 4

Agora achamos um autovetor para cada autovalor:
Para \lambda=1\), resolvemos \((A-I)x=0\): \[\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2y+3z=0,\\\\ 2x+y+z=0. \end{cases}
Da 1ª equação y=-\tfrac32z\]. Na 2ª: \[2x -\tfrac32z +z=0\Rightarrow x=\tfrac14z. Tomando z=4 obtemos o autovetor
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -6\\\ 4\end{pmatrix}.
Para \lambda=4, resolvemos (A-4I)x=0:
\begin{pmatrix} -3 & 2 & 3\\\\ 0 & -3 & 0\\\\ 2 & 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} -3x+2y+3z=0,\\\\ -3y=0,\\\\ 2x+y-2z=0. \end{cases}
Da 2ª equação y=0\]. Da 3ª \[2x-2z=0\Rightarrow x=z. Tomando z=1
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda=-1, resolvemos (A+I)x=0:
\begin{pmatrix} 2 & 2 & 3\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 2x+2y+3z=0,\\\\ 2y=0,\\\\ 2x+y+3z=0. \end{cases}
Da 2ª equação y=0\]. A 1ª dá \(2x+3z=0\Rightarrow x=-\tfrac32z. Tomando z=2 obtemos
v_3 = \begin{pmatrix}-3\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 5

Formamos a matriz P cujas colunas são v_1,v_2,v_3:
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3\\\\ -6 & 0 & 0\\\\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Como os autovalores são distintos, P é invertível. Da teoria,
P^{-1}AP = D
onde
D = \operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) =\operatorname{diag}(1,4,-1).

Resposta

A matriz que diagonaliza A é
P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3\\\\ -6 & 0 & 0\\\\ 4 & 1 & 2 \end{pmatrix},
e
P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 4 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

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