Verifique quais das matrizes são diagonalizáveis:
\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
é diagonalizável. Para isso precisamos calcular os autovalores pela equação característica, determinar suas multiplicidades algébricas e geométricas, e checar se a soma das dimensões dos autespaços é igual a 3.

Passo 2

Calcular o polinômio característico p(\lambda)=\det(A-\lambda I). Primeiro
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 1 & 2\\\\ 0 & 1-\lambda & 0\\\\ 0 & 1 & 3-\lambda \end{pmatrix}.
Usando expansão pela primeira coluna,
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)\det\begin{pmatrix}1-\lambda&0\\\ 1&3-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)\bigl((1-\lambda)(3-\lambda)-0\bigr) =(1-\lambda)^2(3-\lambda).

Passo 3

Identificamos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
\lambda_1=1\quad\text{(multiplicidade algébrica 2)},\qquad \lambda_2=3\quad\text{(multiplicidade algébrica 1)}.éé

Passo 4

Determinar a multiplicidade geométrica de \lambda=1\) resolvendo \((A-I)x=0\). \[A-I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix},
o que gera o sistema
\begin{cases} y + 2z = 0,\\\\ 0 = 0,\\\ y + 2z = 0. \end{cases}
Daí y=-2z\], \(x é livre. Logo o autespaço associado a \lambda=1 tem dimensão 2 (base, por exemplo, \{(1,0,0),(0,-2,1)\}).

Passo 5

Para \lambda=3 a multiplicidade algébrica é 1, então a geométrica também é 1 (sempre >=1). A soma das dimensões dos autespaços é 2+1=3, igual à ordem da matriz. Portanto A é diagonalizável.

Resposta

A matriz é diagonalizável.

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