2.4.8 Ache as componentes cilíndricas circulares da velocidade e da aceleração de uma partícula em movimento,
\begin{array}{lll} v_{\rho}=\dot{\rho}, & & a_{\rho}=\ddot{\rho}-\rho \dot{\varphi}^{2}, \\\ v_{\varphi}=\rho \dot{\varphi}, & & a_{\varphi}=\rho \ddot{\varphi}+2 \dot{\rho} \dot{\varphi}, \\\ v_{z}=\dot{z}, & & a_{z}=\ddot{z} . \end{array}
Sugestão:
\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & =\hat{\boldsymbol{\rho}}(t) \rho(t)+\hat{\mathbf{z}} z(t) \\\ & =[\hat{\mathbf{x}} \cos \varphi(t)+\hat{\mathbf{y}} \operatorname{sen} \varphi(t)] \rho(t)+\hat{\mathbf{z}} z(t) \end{aligned}
Nota: \dot{\rho}=d \rho / d t, \ddot{\rho}=d^{2} \rho / d t^{2}, e assim por diante.

Passo 1

O enunciado pede para obter as componentes cilíndricas da velocidade e da aceleração de uma partícula cuja posição é dada em coordenadas cilíndricas por \rho(t), \varphi(t) e z(t). O conteúdo envolve diferenciar o vetor posição em função do tempo, usando a base cilíndrica variável \{\hat{\boldsymbol{\rho}},\hat{\boldsymbol{\varphi}},\hat{\mathbf{z}}\}.

Passo 2

Escrevemos o vetor posição em função dos vetores unitários cilíndricos:
\mathbf{r}(t) = \hat{\boldsymbol{\rho}}(t)\,\rho(t) \;+\;\hat{\mathbf{z}}\,z(t)
com
\hat{\boldsymbol{\rho}}(t) = \hat{\mathbf{x}}\cos\varphi(t)+\hat{\mathbf{y}}\sin\varphi(t), \quad \hat{\boldsymbol{\varphi}}(t) = -\,\hat{\mathbf{x}}\sin\varphi(t)+\hat{\mathbf{y}}\cos\varphi(t).

Passo 3

Derivamos os vetores unitários em relação a t. Como \hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}} giram com \varphi(t), tem-se
\frac{d}{dt}\,\hat{\boldsymbol{\rho}} = \dot\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}, \quad \frac{d}{dt}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} = -\,\dot\varphi\,\hat{\boldsymbol{\rho}}.

Passo 4

Calculamos a velocidade \mathbf{v}=\dot{\mathbf{r}} aplicando a regra do produto:
\mathbf{v} = \frac{d}{dt}\bigl(\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\bigr) + \frac{d}{dt}\bigl(z\,\hat{\mathbf{z}}\bigr) = \dot\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}} + \rho\,\dot\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}} + \dot z\,\hat{\mathbf{z}}.
Daí as componentes cilíndricas da velocidade são
v_{\rho} = \dot\rho, \quad v_{\varphi} = \rho\,\dot\varphi, \quad v_{z} = \dot z.

Passo 5

Agora a aceleração \mathbf{a}=\dot{\mathbf{v}}. Novamente aplicamos a regra do produto a cada termo de \mathbf{v} e usamos as derivadas de \hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}}:
\mathbf{a} = \frac{d}{dt}\bigl(\dot\rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}}\bigr) + \frac{d}{dt}\bigl(\rho\,\dot\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\bigr) + \ddot z\,\hat{\mathbf{z}}.
Agrupando os termos em \hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}} obtém-se
a_{\rho} = \ddot\rho - \rho\,\dot\varphi^{2}, \quad a_{\varphi} = \rho\,\ddot\varphi + 2\,\dot\rho\,\dot\varphi, \quad a_{z} = \ddot z.

Resposta

v_{\rho} = \dot\rho,\quad v_{\varphi} = \rho\,\dot\varphi,\quad v_{z} = \dot z
a_{\rho} = \ddot\rho - \rho\,\dot\varphi^{2},\quad a_{\varphi} = \rho\,\ddot\varphi + 2\,\dot\rho\,\dot\varphi,\quad a_{z} = \ddot z

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