2.4.9 Resolva a Equação de Laplace,
, em coordenadas cilíndricas para
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções de
em coordenadas cilíndricas, supondo que
dependa apenas de
. Para isso, vamos usar a forma do Laplaciano em cilíndricas para
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, para uma função que depende só de
, o Laplaciano reduz-se a
Logo, a equação de Laplace fica
Passo 3
Multiplicando por
e integrando em
, obtemos
onde
é uma constante de integração.
Passo 4
Isolando
e integrando de novo, vem
sendo
outra constante de integração. Reescrevendo
e
, chega-se à forma habitual
Resposta
com
e
constantes arbitárias.