Ache as compostas, T_{1} \circ T_{2} e T_{2} \circ T_{1}, das transformações lineares: T_{1}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T_{1}(x, y, z)=(x+y-2 z, x-z, y-z) e T_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T_{2}(x, y)=(x+y, x-y, 2 x+3 y).
Passo 1
O enunciado dá as transformações lineares \;T_{1}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\;T_{1}(x,y,z)=(x+y-2z,\;x-z,\;y-z)
e \;T_{2}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\;T_{2}(x,y)=(x+y,\;x-y,\;2x+3y).
Queremos achar as compostas \,T_{1}\circ T_{2} (que existe como aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{3}) e \,T_{2}\circ T_{1}.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a imagem de um vetor qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pela transformação T_{2}.
Para formar T_{2}\circ T_{1} precisaríamos primeiro aplicar T_{1} a um vetor de \mathbb{R}^{3} e em seguida aplicar T_{2}, mas T_{2} está definido apenas em \mathbb{R}^{2}. Portanto a composição T_{2}\circ T_{1} não está definida.
Resposta
\displaystyle (T_{1}\circ T_{2})(x,y)=(-2x-6y,\,-x-2y,\,-x-4y),\quad T_{2}\circ T_{1}\text{ não está definida.}ãá