Ache as compostas, T_{1} \circ T_{2} e T_{2} \circ T_{1}, das transformações lineares: T_{1}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T_{1}(x, y, z)=(x+y-2 z, x-z, y-z) e T_{2}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T_{2}(x, y)= (x+y, x-y, 2 x+3 y).

Passo 1

O enunciado dá as transformações lineares
\;T_{1}\colon \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3},\;T_{1}(x,y,z)=(x+y-2z,\;x-z,\;y-z)
e
\;T_{2}\colon \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3},\;T_{2}(x,y)=(x+y,\;x-y,\;2x+3y).
Queremos achar as compostas \,T_{1}\circ T_{2} (que existe como aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{3}) e \,T_{2}\circ T_{1}.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a imagem de um vetor qualquer (x,y)\in\mathbb{R}^{2} pela transformação T_{2}.
T_{2}(x,y) = (\,u_{1},u_{2},u_{3}\,) \quad\text{com}\quad \begin{cases} u_{1} = x + y,\\\ u_{2} = x - y,\\\ u_{3} = 2x + 3y. \end{cases}

Passo 3

Agora aplicamos T_{1} ao vetor (u_{1},u_{2},u_{3}). Por definição,
T_{1}(u_{1},u_{2},u_{3}) =\bigl(u_{1}+u_{2}-2u_{3},\;u_{1}-u_{3},\;u_{2}-u_{3}\bigr).
Substituindo u_{1},u_{2},u_{3} em termos de x,y, temos
\begin{aligned} u_{1}+u_{2}-2u_{3} &=(x+y)+(x-y)-2(2x+3y) =-2x-6y,\\\ u_{1}-u_{3} &=(x+y)-(2x+3y) =-x-2y,\\\ u_{2}-u_{3} &=(x-y)-(2x+3y) =-x-4y. \end{aligned}
Logo,
(T_{1}\circ T_{2})(x,y) =\bigl(-2x-6y,\;-x-2y,\;-x-4y\bigr).

Passo 4

Para formar T_{2}\circ T_{1} precisaríamos primeiro aplicar T_{1} a um vetor de \mathbb{R}^{3} e em seguida aplicar T_{2}, mas T_{2} está definido apenas em \mathbb{R}^{2}. Portanto a composição T_{2}\circ T_{1} não está definida.

Resposta

\displaystyle (T_{1}\circ T_{2})(x,y)=(-2x-6y,\,-x-2y,\,-x-4y),\quad T_{2}\circ T_{1}\text{ não está definida.}ãá

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