Encontre uma base para o núcleo e outra para a imagem, e dê suas dimensões para as transformações lineares:
(a) T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, x+t, y+z+t).
(b) T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, x+y-t, z+2 t, x+y+2 z+3 t).
(c) Verifique se as transformações lineares acima são isomorfismos.
(d) Verifique se as suas respostas estão de acordo com o teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 1

O enunciado pede, para cada transformação linear T, que a gente encontre
  1. Uma base do núcleo \ker T e sua dimensão,
  2. Uma base da imagem \operatorname{Im}T e sua dimensão,
  3. Verifique se T é isomorfismo,
  4. Confira se vale o teorema da dimensão (rank–nullity):
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = \dim(\text{domínio}).í
Vamos usar representação matricial de T, resolver sistemas lineares para \ker T e identificar colunas independentes para \operatorname{Im}T.

Passo 2

Para (a), T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) é dada por \[T(x,y,z,t) =\bigl(x+y+z+t,\;x+t,\;y+z+t\bigr).
A matriz associada é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Para \ker T, resolvemos A\,(x,y,z,t)^\mathsf{T}=0, ou seja
\begin{cases} x+y+z+t=0,\\\ x+t=0,\\\ y+z+t=0. \end{cases}
Da segunda equação vem x=-t\]. Substituindo nas outras, chega-se a \(t=0 e y=-z. Logo
(x,y,z,t)=(0,-z,z,0)=z\,(0,-1,1,0).
Uma base de \ker T é
\{(0,-1,1,0)\},
então \dim\ker T=1.
Para \operatorname{Im}T, as colunas de A são
v_1=(1,1,0),\; v_2=(1,0,1),\; v_3=(1,0,1),\; v_4=(1,1,1).
Fazendo eliminação, vê-se que as colunas 1, 2 e 4 são independentes e geram a imagem. Então uma base é
\{(1,1,0),\;(1,0,1),\;(1,1,1)\},
com \dim\operatorname{Im}T=3.

Passo 3

Para (b), T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^4 é dada por
T(x,y,z,t) =\bigl(x+y+z+t,\;x+y-t,\;z+2t,\;x+y+2z+3t\bigr).
A matriz é
B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 & -1\\\\ 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Para \ker T, resolvemos B(x,y,z,t)^\mathsf{T}=0. As equações são equivalentes a
x+y-t=0, \quad z+2t=0,
de modo que
x=t-y, \quad z=-2t.
Escrevendo em função de y e t,
(x,y,z,t)=y\,(-1,1,0,0)+t\,(1,0,-2,1).
Uma base de \ker T é
\{\,(-1,1,0,0),\,(1,0,-2,1)\},
portanto \dim\ker T=2.
Para \operatorname{Im}T, as colunas de B são
w_1=(1,1,0,1),\; w_2=(1,1,0,1),\; w_3=(1,0,1,2),\; w_4=(1,-1,2,3).
Eliminando, vê-se que apenas as colunas 1 e 3 são pivôs independentes. Uma base da imagem é
\{(1,1,0,1),\;(1,0,1,2)\},
com \dim\operatorname{Im}T=2.

Passo 4

Para ser isomorfismo, T precisaria ser injetora ( \ker T=\{0\}) e sobrejetora ( \dim\operatorname{Im}T=\dim\text{domínio}í).
(a) \dim\ker T=1\neq0 e \dim\operatorname{Im}T=3<4, logo não é isomorfismo.
(b) \dim\ker T=2\neq0 e \dim\operatorname{Im}T=2<4, logo também não é isomorfismo.

Passo 5

Verificamos o teorema da dimensão:
(a) \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=1+3=4.
(b) \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=2+2=4.
Em ambos os casos, a soma bate com \dim(\mathbb{R}^4)=4, conforme o teorema do núcleo e da imagem.

Resposta

(a) Base de \ker T: \{(0,-1,1,0)\}, \dim\ker T=1.
Base de \operatorname{Im}T: \{(1,1,0),\,(1,0,1),\,(1,1,1)\}, \dim\operatorname{Im}T=3.
(b) Base de \ker T: \{(-1,1,0,0),\,(1,0,-2,1)\}, \dim\ker T=2.
Base de \operatorname{Im}T: \{(1,1,0,1),\,(1,0,1,2)\}, \dim\operatorname{Im}T=2.
(c) Nenhuma das transformações é isomorfismo.
(d) Em ambos os casos vale \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=4, em acordo com o teorema do núcleo e da imagem.

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