Encontre uma base para o núcleo e outra para a imagem, e dê suas dimensões para as transformações lineares:
(a) T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, x+t, y+z+t).
(b) T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4} tal que T(x, y, z, t)=(x+y+z+t, x+y-t, z+2 t, x+y+2 z+3 t).
(c) Verifique se as transformações lineares acima são isomorfismos.
(d) Verifique se as suas respostas estão de acordo com o teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 1
O enunciado pede, para cada transformação linear T, que a gente encontre
Uma base do núcleo \ker T e sua dimensão,
Uma base da imagem \operatorname{Im}T e sua dimensão,
Verifique se T é isomorfismo,
Confira se vale o teorema da dimensão (rank–nullity):
\dim\ker T + \dim\operatorname{Im}T = \dim(\text{domínio}).
Vamos usar representação matricial de T, resolver sistemas lineares para \ker T e identificar colunas independentes para \operatorname{Im}T.
Passo 2
Para (a), T\colon\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) é dada por
\[T(x,y,z,t) =\bigl(x+y+z+t,\;x+t,\;y+z+t\bigr).
Eliminando, vê-se que apenas as colunas 1 e 3 são pivôs independentes. Uma base da imagem é
\{(1,1,0,1),\;(1,0,1,2)\},
com \dim\operatorname{Im}T=2.
Passo 4
Para ser isomorfismo, T precisaria ser injetora (\ker T=\{0\}) e sobrejetora (\dim\operatorname{Im}T=\dim\text{domínio}í).
(a) \dim\ker T=1\neq0 e \dim\operatorname{Im}T=3<4, logo não é isomorfismo.
(b) \dim\ker T=2\neq0 e \dim\operatorname{Im}T=2<4, logo também não é isomorfismo.
Passo 5
Verificamos o teorema da dimensão:
(a) \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=1+3=4.
(b) \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=2+2=4.
Em ambos os casos, a soma bate com \dim(\mathbb{R}^4)=4, conforme o teorema do núcleo e da imagem.
Resposta
(a) Base de \ker T: \{(0,-1,1,0)\}, \dim\ker T=1.
Base de \operatorname{Im}T: \{(1,1,0),\,(1,0,1),\,(1,1,1)\}, \dim\operatorname{Im}T=3.
(b) Base de \ker T: \{(-1,1,0,0),\,(1,0,-2,1)\}, \dim\ker T=2.
Base de \operatorname{Im}T: \{(1,1,0,1),\,(1,0,1,2)\}, \dim\operatorname{Im}T=2.
(c) Nenhuma das transformações é isomorfismo.
(d) Em ambos os casos vale \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=4, em acordo com o teorema do núcleo e da imagem.