Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
A curva inteira: r=1-\operatorname{sen} \theta.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva em coordenadas polares
r = 1 - \operatorname{sen} \theta
para \theta variando de 0 a 2\pi. Vamos usar a fórmula de comprimento em polares e calcular
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{r^2 + \bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^2}\,d\theta.

Passo 2

Calculemos \tfrac{dr}{d\theta} e monte a soma sob a raiz.
r = 1 - \operatorname{sen} \theta
\tfrac{dr}{d\theta} = -\cos \theta
Logo
r^2 + \bigl(\tfrac{dr}{d\theta}\bigr)^2 = (1 - \operatorname{sen} \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1 - 2\operatorname{sen} \theta + \operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 2 - 2\operatorname{sen} \theta = 2\bigl(1 - \operatorname{sen} \theta\bigr).

Passo 3

Substituindo na fórmula do comprimento, obtemos
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{2\bigl(1 - \operatorname{sen} \theta\bigr)}\,d\theta.

Passo 4

Note que
1 - \operatorname{sen} \theta = \bigl(\sin\tfrac{\theta}{2} - \cos\tfrac{\theta}{2}\bigr)^2,
portanto
\sqrt{2\bigl(1 - \operatorname{sen} \theta\bigr)} = \sqrt{2}\,\bigl|\sin\tfrac{\theta}{2} - \cos\tfrac{\theta}{2}\bigr|.
Fazendo a mudança de variável \varphi = \tfrac{\theta}{2}, os limites vão de \varphi=0 até \varphi=\pi e d\theta = 2\,d\varphi. Assim
L = \sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl|\sin\tfrac{\theta}{2}-\cos\tfrac{\theta}{2}\bigr|\,d\theta = 2\sqrt{2}\int_{0}^{\pi}\bigl|\sin\varphi - \cos\varphi\bigr|\,d\varphi.

Passo 5

O integrando muda de sinal em \varphi=\tfrac{\pi}{4}. Dividimos em dois trechos:
Para 0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{4}, \sin\varphi-\cos\varphi<0, então integrando \cos\varphi-\sin\varphi.
\int_{0}^{\pi/4}(\cos\varphi-\sin\varphi)\,d\varphi = \bigl[\sin\varphi+\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4} = (\sqrt{2}-1).
Para \tfrac{\pi}{4}\le\varphi\le\pi, \sin\varphi-\cos\varphi\ge0, então
\int_{\pi/4}^{\pi}(\sin\varphi-\cos\varphi)\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi-\sin\varphi\bigr]_{\pi/4}^{\pi} = (1+\sqrt{2}).
Somando os dois valores dá
\int_{0}^{\pi}\bigl|\sin\varphi - \cos\varphi\bigr|\,d\varphi = (\sqrt{2}-1)+(1+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}.
Logo
L = 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2} = 8.

Resposta

O comprimento do arco da curva r=1-\operatorname{sen}\theta para \theta\in[0,2\pi] é 8.

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