Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
r=e^{2 \theta}; de \theta=0 a \theta=4.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = e^{2\theta},\quad 0 \le \theta \le 4,
e pede o comprimento do arco. O conteúdo principal é a fórmula de comprimento em coordenadas polares:
L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2}\,d\theta.

Passo 2

Calcular a derivada de r em relação a \theta. Como r=e^{2\theta}, temos
\frac{dr}{d\theta} = 2e^{2\theta}.

Passo 3

Montar o integrando:
r^2 + \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2 = e^{4\theta} + \bigl(2e^{2\theta}\bigr)^2 = e^{4\theta} + 4e^{4\theta} = 5e^{4\theta}.
Logo,
\sqrt{r^2 + \Bigl(\frac{dr}{d\theta}\Bigr)^2} = \sqrt{5e^{4\theta}} = \sqrt{5}\,e^{2\theta}.

Passo 4

Substituir na fórmula do comprimento e integrar:
L = \int_{0}^{4} \sqrt{5}\,e^{2\theta}\,d\theta = \sqrt{5}\,\int_{0}^{4} e^{2\theta}\,d\theta = \sqrt{5}\,\Bigl[\tfrac{1}{2}e^{2\theta}\Bigr]_{0}^{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}\bigl(e^{8}-1\bigr).

Resposta

L = \frac{\sqrt{5}}{2}\,\bigl(e^{8}-1\bigr).

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