Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
\mathbf{R}(t)=\operatorname{tg}^{-1} t \mathbf{i}+\frac{1}{2} \ln \left(t^{2}+1\right) \mathbf{j}; de t=0 a t=1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=\operatorname{tg}^{-1}t\,\mathbf{i}+\tfrac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}+1\bigr)\,\mathbf{j}
para t de 0 a 1. O conteúdo é comprimento de arco de curva paramétrica, e vamos usar a fórmula
L=\int_{a}^{b}\|\mathbf{R}'(t)\|\,dt.

Passo 2

Calculamos as derivadas das componentes.
A primeira componente é x(t)=\operatorname{tg}^{-1}t, logo
x'(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
A segunda é y(t)=\tfrac{1}{2}\ln\bigl(t^{2}+1\bigr), logo
y'(t)=\frac{t}{t^{2}+1}.

Passo 3

Montamos a norma de \mathbf{R}'(t):
\|\mathbf{R}'(t)\| =\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}} =\sqrt{\frac{1}{(1+t^{2})^{2}}+\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}} =\frac{\sqrt{1+t^{2}}}{1+t^{2}} =\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}.

Passo 4

O comprimento de arco é
L=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt.
Esse integral é a primitiva \operatorname{arcsinh}(t), ou seja
\int\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\,dt =\operatorname{arcsinh}(t) =\ln\bigl(t+\sqrt{1+t^{2}}\bigr).

Passo 5

Avaliando de 0 a 1:
L=\bigl[\operatorname{arcsinh}(t)\bigr]_{0}^{1} =\operatorname{arcsinh}(1)-\operatorname{arcsinh}(0) =\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)-0 =\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Resposta

\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)

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