Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
\mathbf{R}(t)=\ln \operatorname{sen} t \mathbf{i}+(t+1) \mathbf{j}; de t=\frac{1}{6} \pi a t=\frac{1}{2} \pi.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\mathbf{R}(t)=\bigl(\ln(\sin t),\;t+1\bigr)
e pede o comprimento do arco de t=\frac{\pi}{6} até t=\frac{\pi}{2}. Para resolver, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica \mathbf{R}(t):
L=\int_{t_1}^{t_2}\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert \,dt.

Passo 2

Calcular a derivada \mathbf{R}'(t). Como
\mathbf{R}(t)=\bigl(\ln(\sin t),\;t+1\bigr),
temos
\frac{d}{dt}\bigl[\ln(\sin t)\bigr] =\frac{1}{\sin t}\cdot\cos t =\cot t,
e
\frac{d}{dt}[\,t+1\,]=1.
Logo
\mathbf{R}'(t)=\bigl(\cot t,\;1\bigr).

Passo 3

Determinar o módulo de \mathbf{R}'(t):
\bigl\lVert \mathbf{R}'(t)\bigr\rVert =\sqrt{\cot^2t+1} =\sqrt{\csc^2t} =\csc t,
pois \csc t>0 no intervalo \bigl[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 4

Escrever o integral do comprimento:
L=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\csc t\,dt.

Passo 5

Calcular a primitiva de \csc t. Sabemos que
\int \csc t\,dt =\ln\bigl|\tan\frac{t}{2}\bigr|+C.
Portanto
L =\Bigl[\ln\bigl(\tan\tfrac{t}{2}\bigr)\Bigr]_{t=\frac{\pi}{6}}^{t=\frac{\pi}{2}} =\ln\bigl(\tan\tfrac{\pi}{4}\bigr) -\ln\bigl(\tan\tfrac{\pi}{12}\bigr).

Passo 6

Avaliar e simplificar:
\tan\frac{\pi}{4}=1, \quad \tan\frac{\pi}{12}=\tan15^\circ =2-\sqrt{3}.
Então
L=\ln(1)-\ln\bigl(2-\sqrt{3}\bigr) =-\ln\bigl(2-\sqrt{3}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{1}{2-\sqrt3}\bigr) =\ln\bigl(2+\sqrt3\bigr).

Resposta

L=\ln\bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

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