Ache a curvatura e o raio de curvatura no ponto dado.
a) R(t) = t^2 * i + (2*t + 1) * j, t = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a curvatura e o raio de curvatura no ponto onde para a função vetorial . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas de funções vetoriais e a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de em relação a , que nos dá a velocidade do ponto no tempo . Derivando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada de , que nos dá a aceleração do ponto:

Passo 4

A curvatura de uma curva parametrizada por vetor é dada pela fórmula:
Como estamos trabalhando em duas dimensões, podemos considerar o produto vetorial como se estivéssemos no espaço tridimensional com a componente igual a zero.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial :
Então, o módulo do produto vetorial é:

Passo 6

Agora, vamos calcular o módulo de :
Elevando ao cubo:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da curvatura:

Passo 8

Vamos calcular a curvatura no ponto :

Passo 9

O raio de curvatura é o inverso da curvatura:

Resposta

A curvatura no ponto dado é e o raio de curvatura é .

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