Ache o comprimento do arco dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o comprimento de um arco definido pela função
no intervalo de
de 0 a
. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui,
é o comprimento do arco,
é a função que descreve a curva, e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar o que temos no exercício:
-
-
varia de 0 a
Agora, precisamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Podemos fatorar
dentro da raiz:
Então, o comprimento do arco fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar
:
Aplicando os limites de integração:
Simplificando
:
Resposta
O comprimento do arco é: