Ache o comprimento do arco dado.
r = a theta^2, 0 <= theta <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o comprimento de um arco definido pela função no intervalo de de 0 a . Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente a fórmula para comprimento de arco em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco em coordenadas polares. A fórmula é:
Aqui, é o comprimento do arco, é a função que descreve a curva, e é a derivada de em relação a .

Passo 3

Vamos identificar o que temos no exercício:
  • varia de 0 a
Agora, precisamos calcular , que é a derivada de em relação a :

Passo 4

Substituindo e na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Podemos fatorar dentro da raiz:
Então, o comprimento do arco fica:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração:
Simplificando :

Resposta

O comprimento do arco é:

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