Ache d/y d/x e d²y/dx² sem eliminar o parâmetro.
x = t^2 e^t, y = t ln t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as derivadas de em relação a , ou seja, e , sem eliminar o parâmetro . Isso entra no conteúdo de derivadas paramétricas. Vamos precisar usar as regras de derivação para funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Sabemos que quando temos e em função de um parâmetro , a derivada de em relação a é dada por:
Então, vamos calcular e .

Passo 3

Vamos derivar em relação a :
Usando a regra do produto:

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Aqui usamos a regra do produto novamente:

Passo 5

Agora que temos e , podemos encontrar :

Passo 6

Para achar a segunda derivada , precisamos derivar em relação a e depois dividir por :
Vamos calcular .

Passo 7

Primeiro, vamos expressar de forma mais simples:
Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente:
onde e .

Passo 8

Calculando as derivadas:
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 9

Simplificando ainda mais:
Então:

Passo 10

Finalmente, substituímos na expressão da segunda derivada:

Resposta

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