Ache a derivada \frac{d y}{d x} da função dada: y(x)=\cos \left(x^{2}+1\right)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da função
y(x)=\cos\left(x^{2}+1\right).
Informações dadas:
y(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr).
Pergunta: encontrar \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x).
Passo 2
Conceito que vamos usar: regra da cadeia (explicação didática).
Se tivermos uma função composta \displaystyle y = f(g(x)), a regra da cadeia diz que a derivada é
\frac{dy}{dx} = f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Aqui f é a função “externa” e g é a função “interna”. O que isso significa intuitivamente: primeiro derivamos a parte externa avaliando-a na expressão interna e depois multiplicamos pela derivada da parte interna. Exemplo simples para fixar: se y=\sin(3x), então f(u)=\sin(u) e g(x)=3x, logo
\frac{dy}{dx}=\cos(3x)\cdot 3.
Passo 3
Identificação da composição no problema.
Na nossa função
y(x)=\cos\bigl(x^{2}+1\bigr)
podemos identificar:
\text{externa: } f(u)=\cos(u),
\text{interna: } g(x)=x^{2}+1.
Vamos derivar cada uma separadamente e depois aplicar a regra da cadeia.
Passo 4
Derivada da função externa f(u)=\cos(u).
Regra: a derivada de \cos(u) em relação a u é
f'(u)=\frac{d}{du}\cos(u)=-\sin(u).
Aqui u é uma variável genérica; quando aplicarmos à nossa composição, iremos substituir u=g(x).
Passo 5
Derivada da função interna g(x)=x^{2}+1.
Usamos a regra do poder (power rule): para \displaystyle x^{n}, \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
No caso n=2:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
E a derivada de uma constante é zero, então
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)=2x+0=2x.
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia.
Pelo Passo 2, temos
\frac{dy}{dx}=f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x).
Substituindo f'(u)=-\sin(u) com u=g(x)=x^{2}+1 e g'(x)=2x, obtemos
\frac{dy}{dx} = -\sin\bigl(x^{2}+1\bigr)\cdot 2x.
Podemos organizar os fatores:
\frac{dy}{dx} = -2x\,\sin\bigl(x^{2}+1\bigr).
Passo 7
Checagem rápida e interpretação (para ganhar confiança).
Avaliar em x=0: