Ache a derivada
da função dada:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é uma composição: a função externa é a tangente e a função interna é
. - Precisamos aplicar regras de derivação para funções compostas.
Passo 2
Vamos lembrar a regra geral para derivada de uma composição (regra da cadeia). Se tivermos uma função composta
, então
Isso significa: derivo a função externa
avaliando-a em
e multiplico pela derivada da função interna
. É a receita básica que vamos usar.
Passo 3
Precisamos também da derivada da função tangente simples, ou seja, da função
. Uma forma direta de obter
é escrever
como quociente de seno e cosseno:
Agora aplicamos a regra do quociente: se
então
Aqui
e
. Calculando:
Substituindo na fórmula do quociente:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para a nossa função
. Identificamos:
Pela regra da cadeia:
Sabemos de cima que
. Então
Passo 5
Calculamos a derivada da função interna
. Para uma função linear
vale
. Então
Passo 6
Substituindo na expressão da regra da cadeia:
Alternativamente, lembrando que
, podemos escrever
Dica rápida para a prova: memore que
e sempre que tiver
use a regra da cadeia multiplicando pela derivada do “algo”.