Ache a derivada \frac{d y}{d x} da função dada:
y=\operatorname{tg}(2 x)

Passo 1

O enunciado dá a função y=\tan(2x) e pede para encontrar a derivada \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes:
  • A função é uma composição: a função externa é a tangente e a função interna é 2x.
  • Precisamos aplicar regras de derivação para funções compostas.

Passo 2

Vamos lembrar a regra geral para derivada de uma composição (regra da cadeia). Se tivermos uma função composta y=f(g(x)), então
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
Isso significa: derivo a função externa f avaliando-a em g(x) e multiplico pela derivada da função interna g(x). É a receita básica que vamos usar.

Passo 3

Precisamos também da derivada da função tangente simples, ou seja, da função t(x)=\tan x. Uma forma direta de obter \dfrac{d}{dx}\tan x é escrever \tan x como quociente de seno e cosseno:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Agora aplicamos a regra do quociente: se h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} então
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}.
Aqui u(x)=\sin x e v(x)=\cos x. Calculando:
u'(x)=\cos x,\qquad v'(x)=-\sin x.
Substituindo na fórmula do quociente:
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}.
Usando a identidade trigonométrica \cos^2 x+\sin^2 x=1, obtemos
\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2 x}=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para a nossa função y=\tan(2x). Identificamos:
f(u)=\tan u\quad\text{e}\quad u(x)=2x.
Pela regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=f'(u(x))\cdot u'(x).
Sabemos de cima que f'(u)=\operatorname{sec}^2 u. Então
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^2\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=\operatorname{sec}^2\big(2x\big)\cdot \frac{d}{dx}(2x).

Passo 5

Calculamos a derivada da função interna u(x)=2x. Para uma função linear ax vale \dfrac{d}{dx}(ax)=a. Então
\frac{d}{dx}(2x)=2.

Passo 6

Substituindo na expressão da regra da cadeia:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{sec}^2\big(2x\big)\cdot 2 = 2\operatorname{sec}^2\big(2x\big).
Alternativamente, lembrando que \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}, podemos escrever
\frac{dy}{dx}=\frac{2}{\cos^2(2x)}.
Dica rápida para a prova: memore que \dfrac{d}{dx}\tan x=\operatorname{sec}^2 x e sempre que tiver \tan(\text{algo}) use a regra da cadeia multiplicando pela derivada do “algo”.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=2\operatorname{sec}^2(2x)

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