Ache as derivadas d f/d x e d^2 f / d x^2 de:
k(x) = sen(5x² - 3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas primeira e segunda da função . Isso envolve o conteúdo de derivadas, especificamente a regra da cadeia. Vamos precisar lembrar que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada .
A função é uma função composta: a função seno ( ) é a função externa e é a função interna. Segundo a regra da cadeia:
Aqui, . Vamos derivar :
Agora, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada .
Temos que derivar . Usaremos a regra do produto, que diz que se você tem uma função , a derivada é .
Aqui, e .
Primeiro, derivamos :
Agora, derivamos usando a regra da cadeia novamente:
Já sabemos que , então:
Agora, aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Resposta

A primeira derivada é e a segunda derivada é .

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