Ache as derivadas parciais primeiras de f :
\begin{aligned}f(x, y, z) & =e^{x y z}+\frac{3 x y}{z^{2}} \\\ \operatorname{Resp}: f_{x}(x, y, z)=y z e^{x y z}+\frac{3 y}{z^{2}} ; f_{y}(x, y, z) & =x z e^{x y z}+\frac{3 x}{z^{2}} ; f_{z}(x, y, z)=x y e^{x y z}-\frac{-6 x y z}{z^{4}}\end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de
f(x,y,z)=e^{x y z}+\frac{3\,x\,y}{z^{2}}.
Para isso vamos usar:
– a regra da cadeia em \displaystyle e^{x y z}, onde ao derivar em relação a uma variável multiplicamos pela derivada do expoente;
– a regra do produto e a regra do poder em \displaystyle \frac{3xy}{z^2}=3xy\,z^{-2}, tratando as variáveis não derivadas como constantes.

Passo 2

Derivando em relação a x:
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}e^{x y z}=e^{x y z}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z\,e^{x y z}.
  2. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x y\,z^{-2}\bigr)=3y\,z^{-2}.
    Somando,
f_x(x,y,z)=y z\,e^{x y z}+\frac{3\,y}{z^{2}}.

Passo 3

Derivando em relação a y:
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}e^{x y z}=e^{x y z}\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z\,e^{x y z}.
  2. \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x y\,z^{-2}\bigr)=3x\,z^{-2}.
    Logo,
f_y(x,y,z)=x z\,e^{x y z}+\frac{3\,x}{z^{2}}.

Passo 4

Derivando em relação a z:
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}e^{x y z}=e^{x y z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x y z)=x y\,e^{x y z}.
  2. \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\bigl(3x y\,z^{-2}\bigr)=3x y\cdot(-2)\,z^{-3}=-\frac{6\,x\,y}{z^{3}}.
    Portanto,
f_z(x,y,z)=x y\,e^{x y z}-\frac{6\,x\,y}{z^{3}}.

Resposta

f_x(x,y,z)=y z\,e^{x y z}+\frac{3\,y}{z^{2}},\quad f_y(x,y,z)=x z\,e^{x y z}+\frac{3\,x}{z^{2}},\quad f_z(x,y,z)=x y\,e^{x y z}-\frac{6\,x\,y}{z^{3}}.

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