Ache as derivadas parciais primeiras de f :
\begin{gathered}f(q, v, w)=\arcsin \sqrt{q v}+\sin v w \\\ \operatorname{Resp}: f_{q}(q, v, w)=\frac{v}{2 \sqrt{q v} \sqrt{1-q v}} ; f_{v}(q, v, w)=\frac{q}{2 \sqrt{q v} \sqrt{1-q v}}+w \cos (v w) ; f_{w}(q, v, w)=v \cos (v w)\end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais primeiras de
f(q,v,w)=\arcsin\bigl(\sqrt{q\,v}\bigr)+\sin\bigl(v\,w\bigr)
em relação a q, v e w.
Vamos usar a regra da cadeia para a parte \arcsin\bigl(\sqrt{qv}\bigr) e derivada direta da função seno para \sin(vw).

Passo 2

Cálculo de \displaystyle f_{q}(q,v,w)=\frac{\partial f}{\partial q}.
Para a parte \arcsin(u) com u=\sqrt{qv}, aplicamos
\frac{\partial}{\partial q}\arcsin(u) =\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\;\frac{\partial u}{\partial q}.
Como
\frac{\partial}{\partial q}\sqrt{qv} =\frac{\partial}{\partial q}(qv)^{1/2} =\tfrac12\,(qv)^{-1/2}\,v =\frac{v}{2\sqrt{qv}},
segue
\frac{\partial}{\partial q}\arcsin\bigl(\sqrt{qv}\bigr) =\frac{v}{2\sqrt{qv}\,\sqrt{1-qv}}.
A derivada de \sin(vw) em relação a q é zero. Portanto,
f_{q}(q,v,w) =\frac{v}{2\sqrt{qv}\,\sqrt{1-qv}}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle f_{v}(q,v,w)=\frac{\partial f}{\partial v}.
Novamente, para \arcsin(u) com u=\sqrt{qv},
\frac{\partial}{\partial v}\arcsin(u) =\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\;\frac{\partial u}{\partial v} \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial v}\sqrt{qv} =\frac{q}{2\sqrt{qv}}.
Logo,
\frac{\partial}{\partial v}\arcsin\bigl(\sqrt{qv}\bigr) =\frac{q}{2\sqrt{qv}\,\sqrt{1-qv}}.
Para \sin(vw), usando regra da cadeia,
\frac{\partial}{\partial v}\sin(vw) =\cos(vw)\;\frac{\partial}{\partial v}(v w) =w\cos(vw).
Somando as duas partes,
f_{v}(q,v,w) =\frac{q}{2\sqrt{qv}\,\sqrt{1-qv}}+w\cos(vw).

Passo 4

Cálculo de \displaystyle f_{w}(q,v,w)=\frac{\partial f}{\partial w}.
A parte \arcsin(\sqrt{qv}) não depende de w, então sua derivada é zero.
Para \sin(vw),
\frac{\partial}{\partial w}\sin(vw) =\cos(vw)\;\frac{\partial}{\partial w}(v w) =v\cos(vw).
Portanto,
f_{w}(q,v,w)=v\cos(vw).

Resposta

f_{q}(q,v,w) =\frac{v}{2\sqrt{qv}\,\sqrt{1-qv}},
f_{v}(q,v,w) =\frac{q}{2\sqrt{qv}\,\sqrt{1-qv}}+w\cos(vw),
f_{w}(q,v,w) =v\cos(vw).

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