Ache o domínio e esboce o gráfico:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
O conteúdo aqui é a função exponencial, cujas propriedades básicas são: ela está definida para todo
Passo 2
Para achar o domínio de
, lembramos que a função exponencial
é bem definida e finita para qualquer
(a série converge para todo real). Logo o domínio de
é
Passo 3
Antes de esboçar, identificamos pontos e assíntota:
- Ponto de interseção com o eixo
: em , - Valores típicos: em
, ; em , . - Comportamento em infinidades:
Portanto há assíntota horizontal
à esquerda.
Passo 4
Analisamos o crescimento e a concavidade por derivadas:
então
é estritamente crescente.
logo
é côncava para cima em toda reta real.
Passo 5
Esboço qualitativo do gráfico de
:
- Passa por
. - À direita de
, cresce rapidamente, ultrapassando valores grandes. - À esquerda de
, aproxima-se de zero sem nunca tocá-la (assíntota horizontal ). - É sempre positiva e nunca atinge valores negativos.
Resposta
Domínio:
.
Gráfico: curva que passa por , aumenta exponencialmente à direita, aproxima-se de
à esquerda, é sempre positiva, estritamente crescente e côncava para cima.
Gráfico: curva que passa por