Ache o domínio e esboce o gráfico:
g(x)=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função
g(x)=e^x
1. Determinar o domínio de g.
2. Esboçar o gráfico de g.
O conteúdo aqui é a função exponencial, cujas propriedades básicas são: ela está definida para todo x\in\mathbb{R}, cresce de forma monótona e tem assíntota horizontal em y=0.

Passo 2

Para achar o domínio de g, lembramos que a função exponencial
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
é bem definida e finita para qualquer x\in\mathbb{R} (a série converge para todo real). Logo o domínio de g é
\mathcal{D} = \mathbb{R}.

Passo 3

Antes de esboçar, identificamos pontos e assíntota:
  • Ponto de interseção com o eixo y: em x=0, g(0)=e^0=1.
  • Valores típicos: em x=1, g(1)=e\approx2{,}718; em x=-1, g(-1)=\tfrac{1}{e}\approx0{,}368.
  • Comportamento em infinidades: \lim_{x\to-\infty} e^x = 0, \quad \lim_{x\to+\infty} e^x = +\infty.
Portanto há assíntota horizontal y=0 à esquerda.

Passo 4

Analisamos o crescimento e a concavidade por derivadas:
g'(x)=e^x>0\quad\text{para todo }x,
então g é estritamente crescente.
g''(x)=e^x>0\quad\text{para todo }x,
logo g é côncava para cima em toda reta real.

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico de g(x)=e^x:
  • Passa por (0,1).
  • À direita de x=0, cresce rapidamente, ultrapassando valores grandes.
  • À esquerda de x=0, aproxima-se de zero sem nunca tocá-la (assíntota horizontal y=0).
  • É sempre positiva e nunca atinge valores negativos.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.
Gráfico: curva que passa por (0,1), aumenta exponencialmente à direita, aproxima-se de y=0 à esquerda, é sempre positiva, estritamente crescente e côncava para cima.

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