Calcule:
\log _{\frac{1}{2}} \sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\log_{\tfrac{1}{2}}\sqrt{2}.
O conteúdo aqui é logaritmo com base fracionária e expoente no argumento. Vamos usar a propriedade de logaritmo de potência e a definição de logaritmo para bases menores que 1.

Passo 2

Use que \sqrt{2}=2^{\tfrac12}. Assim
\log_{\tfrac{1}{2}}\sqrt{2} =\log_{\tfrac{1}{2}}\bigl(2^{\tfrac12}\bigr).
Pela propriedade de logaritmo de potência, temos
\log_{\tfrac{1}{2}}\bigl(2^{\tfrac12}\bigr) =\tfrac12\;\log_{\tfrac{1}{2}}2.

Passo 3

Para encontrar \log_{\tfrac{1}{2}}2, lembramos que por definição \log_{a}b=c significa a^{c}=b. Queremos c tal que
\bigl(\tfrac12\bigr)^{c}=2.
Como \bigl(\tfrac12\bigr)^{-1}=2, segue que
\log_{\tfrac{1}{2}}2=-1.

Passo 4

Substituindo em
\tfrac12\;\log_{\tfrac{1}{2}}2, temos
\tfrac12\cdot(-1)=-\tfrac12.

Resposta

-\tfrac12

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