Ache uma equação cartesiana da curva que seja descrita pelo ponto final da representação posicional de \mathbf{R}^{\prime}(t). Ache \mathbf{R}(t) \cdot \mathbf{R}^{\prime}(t). Interprete o resultado geometricamente.
\mathbf{R}(t)=\cos t \mathbf{i}+\operatorname{sen} t \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado nos dá \mathbf{R}(t)=\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j} e pede duas coisas:
  1. A equação cartesiana da curva descrita por \mathbf{R}'(t).
  2. O valor de \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) e sua interpretação geométrica.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de \mathbf{R}(t):
\mathbf{R}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\cos t\,\mathbf{i}+\sin t\,\mathbf{j}\bigr) = -\sin t\,\mathbf{i} + \cos t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Sejam as coordenadas de \mathbf{R}'(t) dadas por
x(t) = -\sin t, \quad y(t) = \cos t.
Para obter a equação cartesiana, basta eliminar t:
x^2 + y^2 = (-\sin t)^2 + (\cos t)^2 = \sin^2 t + \cos^2 t = 1.
Logo a curva de \mathbf{R}'(t) é o círculo
x^2 + y^2 = 1.

Passo 4

Agora calculamos o produto escalar \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t):
\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) = (\cos t)(-\sin t) + (\sin t)(\cos t) = -\cos t\,\sin t + \cos t\,\sin t = 0.

Passo 5

Geometricamente, \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)=0 significa que o vetor posição \mathbf{R}(t) é sempre perpendicular ao vetor velocidade \mathbf{R}'(t). Isso caracteriza um movimento circular uniforme, onde a velocidade é tangente ao círculo e o raio é perpendicular à trajetória.

Resposta

A curva de \mathbf{R}'(t) é o círculo x^2+y^2=1. \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t)=0, indicando que posição e velocidade são sempre perpendiculares.

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