Ache a equação cartesiana do gráfico.
b) R(t) = sec(t) i + tgt j, t in (-pi/2, pi/2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é achar a equação cartesiana do gráfico da função vetorial para entre e . Isso significa que vamos converter essas expressões paramétricas em uma equação que relaciona e diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas funções trigonométricas. A função é o inverso do cosseno, ou seja, , e é a tangente, que é . Elas estão sendo usadas para definir as coordenadas e em termos de .

Passo 3

Agora, vamos escrever as coordenadas e separadamente:
Nossa meta é eliminar o parâmetro e relacionar e diretamente.

Passo 4

Vamos resolver a equação de para encontrar :
Agora, sabemos que . Vamos usar isso para encontrar .

Passo 5

Substituindo na identidade trigonométrica:
(Não nos preocupamos com o sinal aqui porque o intervalo de garante , então terá o mesmo sinal de .)

Passo 6

Agora, vamos substituir na expressão para :
Simplificando:

Resposta

A equação cartesiana do gráfico é .

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