ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arcos como parâmetro, onde sé medido a partir do ponto onde t=0. Comprove o seu resultado usando a equação (7).
x=a \cos t, y=a \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
x=a\cos t,\quad y=a\sin t
e pede para reparametrizar essa curva usando o comprimento de arco s medido a partir de t=0. Vamos usar a fórmula do comprimento de arco
\frac{ds}{dt}=\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}
e, depois, inverter essa relação para obter t em função de s.

Passo 2

Calculemos \tfrac{ds}{dt}. Derivando em relação a t:
x'(t)=-a\sin t,\quad y'(t)=a\cos t.
Logo
\frac{ds}{dt} =\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2} =\sqrt{a^2(\sin^2 t+\cos^2 t)} =\sqrt{a^2} =a.
Integrando de 0 a t, e impondo s(0)=0, vem
s=\int_{0}^{t}a\,d\tau = a\,t.

Passo 3

Invertendo s=a\,t obtemos
t=\frac{s}{a}.

Passo 4

Substituindo t=\tfrac{s}{a} nas equações originais, a parametrização em função de s fica
x(s)=a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr), \qquad y(s)=a\sin\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr).

Passo 5

A equação (7) do texto afirma que, para parametrização pelo comprimento de arco, vale
\Bigl(\tfrac{dx}{ds}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{dy}{ds}\Bigr)^2=1.
Vamos verificar:
\frac{dx}{ds} =-\sin\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr), \qquad \frac{dy}{ds} =\cos\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr),
e portanto
\Bigl(\tfrac{dx}{ds}\Bigr)^2+\Bigl(\tfrac{dy}{ds}\Bigr)^2 =\sin^2\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr)+\cos^2\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr) =1,
o que confirma que s é de fato o comprimento de arco.

Resposta

x(s)=a\cos\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr), \quad y(s)=a\sin\!\bigl(\tfrac{s}{a}\bigr).

Exercícios relacionados