ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arcos como parâmetro, onde sé medido a partir do ponto onde t=0. Comprove o seu resultado usando a equação (7).
y=x^{3 / 2}

Passo 1

O enunciado dá a curva
y = x^{3/2},\quad x\ge0,
e pede uma parametrização \bigl(x(s),y(s)\bigr) usando o comprimento de arco s medido a partir do ponto onde t=0. O conteúdo necessário é a fórmula de comprimento de arco
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\|r'(u)\bigr\|\,du,
que corresponde à equação (7) mencionada.

Passo 2

Escolhemos como parâmetro auxiliar t=x, de modo que
r(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr)=\bigl(t,\;t^{3/2}\bigr).
Calculamos a derivada
r'(t)=\bigl(1,\;\tfrac{3}{2}t^{1/2}\bigr)
e seu módulo
\|r'(t)\| =\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{3}{2}t^{1/2}\Bigr)^{2}} =\tfrac12\sqrt{9t+4}.

Passo 3

Pela equação de comprimento de arco s(t)=\int_{0}^{t}\|r'(u)\|\,du, temos
s(t) =\int_{0}^{t}\frac12\sqrt{9u+4}\,du =\frac1{27}\Bigl[(9t+4)^{3/2}-4^{3/2}\Bigr] =\frac{(9t+4)^{3/2}-8}{27}.

Passo 4

Invertendo s(t) para obter t em função de s, escrevemos
(9t+4)^{3/2}=27\,s+8 \;\Longrightarrow\; 9t+4=(27\,s+8)^{2/3} \;\Longrightarrow\; t(s)=\frac{(27\,s+8)^{2/3}-4}{9}.
Logo a parametrização em função de s é
x(s)=t(s)=\frac{(27\,s+8)^{2/3}-4}{9}, \qquad y(s)=\bigl(t(s)\bigr)^{3/2} =\left(\frac{(27\,s+8)^{2/3}-4}{9}\right)^{3/2}.

Passo 5

Para confirmar que s é realmente o comprimento de arco, verificamos que
\frac{dx}{ds} =\frac{dt}{ds} =\frac1{ds/dt} =\frac1{\tfrac12\sqrt{9t+4}} =\frac{2}{\sqrt{9t+4}},
\frac{dy}{ds} =\frac{dy}{dt}\,\frac{dt}{ds} =\Bigl(\tfrac32\,t^{1/2}\Bigr)\frac{2}{\sqrt{9t+4}} =\frac{3\sqrt t}{\sqrt{9t+4}}.
Assim
\bigl(dx/ds\bigr)^{2}+\bigl(dy/ds\bigr)^{2} =\frac{4}{9t+4}+\frac{9t}{9t+4} =\frac{9t+4}{9t+4}=1,
o que mostra que a velocidade em função de s tem norma unitária, como manda a parametrização pelo comprimento de arco.

Resposta

x(s)=\frac{(27\,s+8)^{2/3}-4}{9}, \qquad y(s)=\Bigl(\tfrac{(27\,s+8)^{2/3}-4}{9}\Bigr)^{3/2}.

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