Ache as equações das retas que passam pelo ponto (3,-2) e que sejam tangentes a parábola y=x^{2}-7. Gabarito: y=10 x-32 e y=2 x-8.

Passo 1

O enunciado pede as retas que passam por (3,-2) e são tangentes à parábola y=x^2-7. Vamos usar o conceito de reta genérica de coeficiente angular m que passa por um ponto e impor a condição de tangência via discriminante do sistema formado pela reta e a parábola.

Passo 2

A reta genérica com coeficiente angular m que passa por (3,-2) tem equação
y = m x + b,
onde b é dado por
-2 = m\cdot3 + b\quad\Longrightarrow\quad b = -2 -3m.
Logo,
y = m x -3m -2.

Passo 3

Para a reta ser tangente à parábola, o sistema
\begin{cases} y = x^2 -7,\\\ y = m x -3m -2 \end{cases}
deve ter uma única solução em x. Substituindo y obtemos a equação quadrática
x^2 -7 = m x -3m -2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -m x +3m -5 = 0.

Passo 4

A condição de tangência é que o discriminante dessa quadrática seja zero:
\Delta = (-m)^2 - 4\cdot1\cdot(3m -5) = m^2 -12m +20 = 0.
Resolvendo,
m^2 -12m +20 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{12 \pm \sqrt{144 -80}}{2} = \frac{12 \pm 8}{2}
\Longrightarrow\quad m = 10 \quad\text{ou}\quad m = 2.

Passo 5

Para m=10, a reta é
y = 10x -3\cdot10 -2 = 10x -30 -2 = 10x -32.
Para m=2, a reta é
y = 2x -3\cdot2 -2 = 2x -6 -2 = 2x -8.

Resposta

As equações das retas são y = 10x -32 e y = 2x -8.

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