Obtenha a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico das funções abaixo nos pontos indicados:
Obs: A reta normal é a reta perpendicular a reta tangente.
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}, no ponto P=\left(1, \frac{1}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente e a reta normal ao gráfico da função
f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}
no ponto P=(1,\tfrac12). O conteúdo envolvido é derivada de quociente (ou regra da cadeia) para obter a inclinação da tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f(x) usando a regra do quociente ou cadeia:
f'(x) =\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-1}' =-1\cdot\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-2}\cdot(2x) =-\frac{2x}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

A inclinação da reta tangente em x=1 é
f'(1)=-\frac{2\cdot1}{(1+1)^{2}}=-\frac{2}{4}=-\frac12.
Logo, a equação da reta tangente, em forma ponto-inclinação, é
y-\frac12=-\frac12\,(x-1),
que se simplifica para
y=-\frac12x+1.

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do recíproco de -\tfrac12, ou seja 2. Assim,
y-\frac12=2\,(x-1),
que simplifica para
y=2x-\frac32.

Resposta

A reta tangente é
y=-\frac12x+1
e a reta normal é
y=2x-\frac32.

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