Ache os limites abaixo:
\lim _{x \rightarrow \frac{1}{3}} \frac{x^{2}+3}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \tfrac{1}{3}} \frac{x^{2}+3}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função considerada é a razão de dois polinômios: f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{x-1}.
  • O ponto de aproximação é x_{0}=\tfrac{1}{3}.
    A pergunta é: qual é o valor do limite quando x se aproxima de x_{0}=\tfrac{1}{3}?

Passo 2

Verificar se podemos simplesmente substituir x=\tfrac{1}{3} na expressão. Para isso calculo o numerador e o denominador separadamente em x=\tfrac{1}{3}.
Calculo do numerador:
\left(\tfrac{1}{3}\right)^{2}+3=\tfrac{1}{9}+3=\tfrac{1}{9}+\tfrac{27}{9}=\tfrac{28}{9}.
Calculo do denominador:
\tfrac{1}{3}-1=\tfrac{1}{3}-\tfrac{3}{3}=-\tfrac{2}{3}.
Como o denominador em x=\tfrac{1}{3} é diferente de zero (tem valor -\tfrac{2}{3}), a função f(x) é bem definida e contínua naquele ponto. Portanto o limite pode ser obtido por substituição direta.

Passo 3

Agora faço a divisão dos valores obtidos:
\frac{\tfrac{28}{9}}{-\tfrac{2}{3}}=\tfrac{28}{9}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right).

Passo 4

Simplifico o produto:
\tfrac{28}{9}\cdot\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{28\cdot 3}{9\cdot 2}=-\tfrac{84}{18}.
Dividindo numerador e denominador por 6:
-\tfrac{84}{18}=-\tfrac{14}{3}.

Passo 5

Interpretação final e motivação rápida: como a função é uma razão de polinômios e o denominador não anula em x=\tfrac{1}{3}, a continuidade garante que o limite é o próprio valor da função no ponto. O cálculo direto mostrou que esse valor é -\tfrac{14}{3}. Vai dar tudo certo na prova — esse tipo de limite costuma ser dos mais tranquilos!

Resposta

-\dfrac{14}{3}

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