Ache os limites abaixo:
\lim _{y \rightarrow \sqrt{3}} \frac{3 y^{2}+3}{y}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{y \rightarrow \sqrt{3}} \frac{3 y^{2}+3}{y}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a um número é y e o ponto de aproximação é y=\sqrt{3}.
  • A função cujo limite devemos calcular é a função racional f(y)=\dfrac{3y^{2}+3}{y}.
    O objetivo é encontrar o valor desse limite quando y se aproxima de \sqrt{3}.

Passo 2

Verificar se podemos usar substituição direta: polinômios são funções contínuas em todo lugar, e quociente de polinômios é contínuo em todos os pontos onde o denominador não é zero. Aqui o denominador é y, que é diferente de zero no ponto de interesse, pois \sqrt{3}\neq 0. Portanto podemos calcular o limite simplesmente substituindo y=\sqrt{3} na expressão.

Passo 3

Aplicando a substituição direta, calculamos o numerador em y=\sqrt{3}:
3(\sqrt{3})^{2}+3.
Lembrando que (\sqrt{3})^{2}=3, temos
3\cdot 3 + 3 = 9 + 3 = 12.
O denominador em y=\sqrt{3} é simplesmente \sqrt{3}. Assim o quociente vale
\frac{12}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Simplificar \dfrac{12}{\sqrt{3}}. Uma forma direta é dividir numerador e denominador por 3:
\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.
(ou simplesmente notar 12/ \sqrt{3} = (12/\!3)\sqrt{3}=4\sqrt{3}.)

Passo 5

Concluímos que o limite existe e é igual ao valor obtido por substituição e simplificação:
\lim_{y \rightarrow \sqrt{3}} \frac{3 y^{2}+3}{y}=4\sqrt{3}.

Resposta

4\sqrt{3}

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