Ache D_{t} \| \mathbf{R}(t) \|.
\mathbf{R}(t)=\left(e^{t}+1\right) \mathbf{i}+\left(e^{t}-1\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \frac{d}{dt}\bigl\|\mathbf{R}(t)\bigr\|
sendo \displaystyle \mathbf{R}(t)=(e^{t}+1)\,\mathbf{i}+(e^{t}-1)\,\mathbf{j}.
Para isso usamos a identidade, que vem da regra da cadeia em \|\mathbf{R}(t)\|=\sqrt{\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}(t)}:
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\| =\frac{\mathbf{R}(t)\cdot \mathbf{R}'(t)}{\|\mathbf{R}(t)\|}.

Passo 2

Vamos calcular \mathbf{R}'(t). Como \mathbf{R}(t)=(e^{t}+1)\,\mathbf{i}+(e^{t}-1)\,\mathbf{j},
derivando componente a componente obtemos
\mathbf{R}'(t) =e^{t}\,\mathbf{i}+e^{t}\,\mathbf{j}.

Passo 3

Agora o produto escalar \mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t):
\mathbf{R}(t)\cdot\mathbf{R}'(t) =(e^{t}+1)\,e^{t}+(e^{t}-1)\,e^{t} =e^{2t}+e^{t}+e^{2t}-e^{t} =2\,e^{2t}.

Passo 4

Em seguida, a norma de \mathbf{R}(t):
\|\mathbf{R}(t)\|^{2} =(e^{t}+1)^{2}+(e^{t}-1)^{2} =e^{2t}+2e^{t}+1+e^{2t}-2e^{t}+1 =2\bigl(e^{2t}+1\bigr).
Logo
\|\mathbf{R}(t)\| =\sqrt{2\bigl(e^{2t}+1\bigr)}.

Passo 5

Substituindo na fórmula
\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\| =\frac{2\,e^{2t}}{\sqrt{2\bigl(e^{2t}+1\bigr)}} =\frac{\sqrt{2}\,e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}+1}}.

Resposta

\frac{d}{dt}\|\mathbf{R}(t)\| =\frac{2\,e^{2t}}{\sqrt{2\bigl(e^{2t}+1\bigr)}} \;=\;\frac{\sqrt{2}\,e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}+1}}.

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