Ache \mathbf{R}^{\prime}(t) \cdot \mathbf{R}^{\prime \prime}(t).
\mathbf{R}(t)=\left(2 t^{2}-1\right) \mathbf{i}+\left(t^{2}+3\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto escalar \mathbf{R}'(t)\cdot\mathbf{R}''(t), onde
\mathbf{R}(t) = \bigl(2t^{2}-1\bigr)\,\mathbf{i} + \bigl(t^{2}+3\bigr)\,\mathbf{j}.
Aplicaremos derivação de função vetorial componente a componente e, em seguida, a definição de produto escalar.

Passo 2

Derivamos cada componente de \mathbf{R}(t) para obter \mathbf{R}'(t):
a derivada de 2t^{2}-1 é 4t e a de t^{2}+3 é 2t. Logo,
\mathbf{R}'(t) = 4t\,\mathbf{i} + 2t\,\mathbf{j}.

Passo 3

Derivamos \mathbf{R}'(t) para obter \mathbf{R}''(t):
a derivada de 4t é 4 e a de 2t é 2. Logo,
\mathbf{R}''(t) = 4\,\mathbf{i} + 2\,\mathbf{j}.

Passo 4

Usamos a definição de produto escalar em \mathbb{R}^2:
\mathbf{R}'(t)\cdot\mathbf{R}''(t) = (4t)\cdot4 + (2t)\cdot2 = 16t + 4t = 20t.

Resposta

20t

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