Ache o máximo e mínimo absolutos das funções f abaixo na região fechada e limitada D indicada:
(21.1) f(x, y) = x^2 + y^2 - x - y + 1 ; D = {(x, y) ; x^2 + y^2 <= 1}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o máximo e mínimo absolutos da função na região delimitada por . Para isso, vamos usar conceitos de análise de funções de duas variáveis e otimização em regiões fechadas. Vamos precisar encontrar os pontos críticos da função dentro da região e também examinar o comportamento da função na fronteira dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro da região . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero.
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as derivadas a zero:
Então, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro da região . Substituindo e na equação da região:
Como , o ponto está dentro da região .

Passo 4

Vamos calcular o valor da função nesse ponto crítico:
Então, .

Passo 5

Agora, precisamos analisar a função na fronteira da região , que é o círculo . Para isso, podemos parametrizar a fronteira usando coordenadas polares:
Onde varia de a .
Substituindo na função :

Passo 6

Queremos encontrar os valores máximos e mínimos de na fronteira. Isso significa encontrar os valores máximos e mínimos de .
Podemos reescrever como usando a fórmula da soma de ângulos. Portanto:
O termo varia entre e , então:
Assim:

Passo 7

Agora, vamos comparar os valores encontrados no ponto crítico e na fronteira:
  • No ponto crítico :
  • Na fronteira:
    • Mínimo:
    • Máximo:

Resposta

O mínimo absoluto da função na região é aproximadamente , e o máximo absoluto é aproximadamente .

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