Quais os números reais
tais que a soma é mínima e
?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar os números reais
que minimizam a soma
, dado que a soma dos quadrados
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização com restrições, especificamente a ideia de minimizar uma função (neste caso, a soma) sob uma condição fixa (a soma dos quadrados).
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o que queremos minimizar:
.
A restrição é que
.
Nosso objetivo é encontrar os valores de
que tornam
o menor possível, enquanto respeitam a condição da restrição.
Passo 3
Para minimizar
sob a restrição
, podemos usar o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método nos ajuda a encontrar os pontos extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Definimos a função de Lagrange:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e igualá-las a zero.
Passo 5
Resolvendo as primeiras três equações:
Observamos que
.
Passo 6
Substituindo
na restrição
:
Passo 7
Agora, como
, temos duas possibilidades:
Vamos calcular a soma
para cada caso.
Para
:
Para
:
Resposta
Os números reais que minimizam a soma são
. A soma mínima é
.