Ache o módulo de cada vetor e o ângulo entre cada par de vetores sendo eles A=3 i+5 j e B=10 i+6 j

Passo 1

Beleza, você quer descobrir o módulo (ou tamanho) de cada um dos vetores A=3 i+5 j e B=10 i+6 j, além do ângulo entre eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente como calcular o módulo de um vetor e o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo do vetor A. O módulo de um vetor V = ai + bj é dado pela fórmula:
|V| = raiza^2 + b^2
No caso de A:
|A| = raiz3^2 + 5^2 = raiz9 + 25 = raiz34
Então, o módulo de A é raiz34.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo do vetor B. Usamos a mesma fórmula:
|B| = raiz10^2 + 6^2 = raiz100 + 36 = raiz136
Podemos simplificar raiz136:
raiz136 = raiz4 times 34 = 2raiz34
Então, o módulo de B é 2raiz34.

Passo 4

Com os módulos dos vetores encontrados, vamos calcular o ângulo entre eles usando o produto escalar (ou produto interno). A fórmula para o ângulo theta entre dois vetores A e B é:
cos(theta) = A cdot B|A| , |B|
Primeiro, calculamos o produto escalar A cdot B:
A cdot B = (3)(10) + (5)(6) = 30 + 30 = 60
Agora, substituímos na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 60raiz34 times 2raiz34 = 602 times 34 = 6068 = 1517
Para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(1517)
Calculando isso:
theta approx arccos(0,8824) approx 28,07^circ

Resposta

  • Módulo de A: raiz34 approx 5,83
  • Módulo de B: 2raiz34 approx 11,66
  • Ângulo entre A e B: aproximadamente 28,07^circ

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