Dados dois vetores A=4 i+3 j e B=5 i-2 j, ache o módulo e a direção vetorial de A-B,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular o módulo e a direção do vetor resultante da subtração entre dois vetores, A e B. A matéria envolvida aqui é a de vetores, especificamente operações de vetores e como encontrar a magnitude (ou módulo) e a direção de um vetor. Para resolver isso, vamos precisar somar (ou, no caso, subtrair) os componentes dos vetores e usar algumas fórmulas básicas de matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar A - B. Isso significa que a gente vai subtrair as componentes correspondentes de A e B.
Temos:
A = 4 i + 3 j
B = 5 i - 2 j
Então:
A - B = (4 i + 3 j) - (5 i - 2 j) = (4 - 5) i + (3 - (-2)) j = -1 i + 5 j

Passo 3

Agora, vamos encontrar o módulo desse vetor resultante, que é basicamente o comprimento do vetor. A fórmula para o módulo de um vetor V = a i + b j é:
|V| = raiza^2 + b^2
Aplicando isso ao nosso vetor A - B = -1 i + 5 j:
|A - B| = raiz(-1)^2 + (5)^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,10

Passo 4

Agora, vamos determinar a direção desse vetor. A direção geralmente é expressa pelo ângulo que o vetor forma com o eixo positivo do x. A fórmula para encontrar esse ângulo theta é:
theta = arctan(ba)
Onde a e b são as componentes do vetor. No nosso caso:
theta = arctan(5-1)
Como a componente a é negativa e b é positiva, o vetor está no segundo quadrante. Calculando:
theta = arctan(-5) approx -78,69°
Como está no segundo quadrante, adicionamos 180° para obter o ângulo correto:
theta approx 180° - 78,69° = 101,31°

Resposta

O módulo de A - B é aproximadamente 5,10 unidades, e a direção desse vetor forma um ângulo de aproximadamente 101,31° com o eixo positivo do x.

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