Ache o polinômio característico, os autovalores e autovetores de cada matriz:
\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o polinômio característico, os autovalores e autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\\ 2 & 4\end{pmatrix}.
O conteúdo envolvido é Álgebra Linear: usamos a definição
\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I),
resolvemos a equação característica para obter os autovalores e em seguida resolvemos (A-\lambda I)x=0 para cada autovalor, determinando os autovetores.

Passo 2

Calculamos o determinante de A-\lambda I:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}1-\lambda & -1\\\ 2 & 4-\lambda\end{pmatrix}
\chi(\lambda)=\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(4-\lambda)-(-1)\cdot 2 =\lambda^2 -5\lambda +6.

Passo 3

Resolvemos a equação característica
\lambda^2 -5\lambda +6 = 0
usando fatoração:
\lambda^2 -5\lambda +6 = (\lambda-2)(\lambda-3)=0,
logo os autovalores são
\lambda_1 = 2 \quad\text{e}\quad \lambda_2 = 3.

Passo 4

Para \lambda_1=2 resolvemos (A-2I)x=0:
A - 2I = \begin{pmatrix}-1 & -1\\\ 2 & 2\end{pmatrix},
a equação -x - y = 0 y = -x. Um autovetor associado é
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix}.

Passo 5

Para \lambda_2=3 resolvemos (A-3I)x=0:
A - 3I = \begin{pmatrix}-2 & -1\\\ 2 & 1\end{pmatrix},
a equação -2x - y = 0 y = -2x. Um autovetor associado é
v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.

Resposta

O polinômio característico é
\chi(\lambda)=\lambda^2-5\lambda+6.
Os autovalores são
\lambda_1=2,\quad \lambda_2=3.
Autovetor para \lambda_1=2:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ -1\end{pmatrix},
Autovetor para \lambda_2=3:
v_2=\begin{pmatrix}1\\\ -2\end{pmatrix}.

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