Determine os \lambda \in \mathbb{R} para que \operatorname{det}\left[\begin{array}{cc}-3-\lambda & 4 \\\\ -1 & 2-\lambda\end{array}\right]=0.

Passo 1

O enunciado pede os valores de \lambda\in\mathbb{R} tais que
\det\begin{pmatrix} -3-\lambda & 4 \\[6pt] -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} =0.
O conteúdo é cálculo de determinante de matriz 2\times2 e resolução de uma equação polinomial em \lambda.]

Passo 2

Usamos a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
\det\begin{pmatrix} a & b\\\ c & d \end{pmatrix} =ad - bc.
Aqui a=-3-\lambda, b=4, c=-1, d=2-\lambda. Logo
\det\begin{pmatrix} -3-\lambda & 4 \\[4pt] -1 & 2-\lambda \end{pmatrix} =(-3-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot(-1)=0.]

Passo 3

Expandindo e simplificando:
(-3-\lambda)(2-\lambda)+4 =-6+3\lambda-2\lambda+\lambda^2+4 =\lambda^2+\lambda-2.
Portanto a condição vira
\lambda^2+\lambda-2=0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática pelo discriminante:
\Delta = 1^2 -4\cdot1\cdot(-2)=1+8=9,
\lambda = \frac{-1\pm\sqrt{9}}{2} =\frac{-1\pm3}{2}.
Logo \lambda_1=( -1+3)/2=1 e \lambda_2=( -1-3)/2=-2.

Resposta

\lambda = 1 e \lambda = -2.

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