Ache o polinômio característico, os autovalores e autovetores de cada matriz:
\left[\begin{array}{ccc}2 & -2 & 3 \\\\ 0 & 3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o polinômio característico, os autovalores e os autovetores da matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[6pt] 0 & 3 & -2 \\[3pt] 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo é teoria de valores e vetores próprios: primeiro obtém-se o determinante de A - \lambda I para achar o polinômio característico, depois resolve-se (A - \lambda I)x=0 para cada autovalor \lambda.]

Passo 2

Escrevendo
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & -2 & 3 \\[3pt] 0 & 3-\lambda & -2 \\[3pt] 0 & -1 & 2-\lambda \end{pmatrix},
como os elementos abaixo da primeira coluna são zero, o determinante fatoriza-se assim:
\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}3-\lambda & -2 \\[3pt] -1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Dentro do parêntese temos
(3-\lambda)(2-\lambda) - (-2)(-1) = \bigl(6 -5\lambda + \lambda^2\bigr) - 2 = \lambda^2 -5\lambda +4,
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\det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\,(\lambda^2 -5\lambda +4) = (2-\lambda)\,( \lambda-1)\,(\lambda-4).]

Passo 3

Dos fatores obtemos os autovalores \lambda=2\), \(\lambda=1\) e \(\lambda=4\). Para \(\lambda=2\), calculamos \[A - 2I = \begin{pmatrix} 0 & -2 & 3 \\[3pt] 0 & 1 & -2 \\[3pt] 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}
e resolvemos
\begin{cases} -2x_2 + 3x_3 = 0,\\\ \phantom{-}x_2 - 2x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 + 0\cdot x_3 = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem x_2=2x_3\] e \(x_2=\tfrac32x_3, o que só coincide se x_3=0. Então x_2=0 e x_1 é livre. Um autovetor conveniente é
v_{2} = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Para \lambda=1\), \[A - I = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\[3pt] 0 & 2 & -2 \\[3pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix},
leva ao sistema
\begin{cases} x_1 - 2x_2 +3x_3 = 0,\\\\ 2x_2 -2x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 +x_3 = 0. \end{cases}
Da última equação x_2=x_3\]; então da segunda \(2x_2-2x_3=0 é redundante. Na primeira x_1 = 2x_2 -3x_3 = -\,x_3. Tomando x_3=1, um autovetor é
v_{1} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Para \lambda=4\), \[A - 4I = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 3 \\[3pt] 0 & -1 & -2 \\[3pt] 0 & -1 & -2 \end{pmatrix},
o sistema é
\begin{cases} -2x_1 -2x_2 +3x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 -2x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 -2x_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação x_2=-2x_3\]. Substituindo na primeira: \[-2x_1 -2(-2x_3) +3x_3 = 0 \;\Longrightarrow\; -2x_1 +4x_3 +3x_3 = 0 \;\Longrightarrow\; x_1 = \tfrac{7}{2}x_3.\] Tomando \(x_3=2 para evitar frações, um autovetor é
v_{4} = \begin{pmatrix}7\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix}.]

Resposta

O polinômio característico é
p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\,( \lambda-1)\,(\lambda-4).
Os autovalores são \lambda=2,\;1,\;4, com os respectivos autovetores (a menos de escalares):
\lambda=2:\;v_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \lambda=1:\;v_{1}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad \lambda=4:\;v_{4}=\begin{pmatrix}7\\\ -4\\\ 2\end{pmatrix}.

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