Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência.
f(x)=\sqrt[3]{x} ; \quad a=1

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3} em torno de a=1 e o raio de convergência dessa série. O conteúdo envolvido é a série binomial generalizada para expoente real e o teste da razão para determinar o raio de convergência. Para resolver, vamos escrever
x=1+t,\quad t=x-1,
e usar a fórmula
(1+t)^r=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{r}{n}t^n,\quad\binom{r}{n}=\frac{r(r-1)\cdots(r-n+1)}{n!},\quad |t|<1.

Passo 2

Reescrevendo f(x) em função de t=x-1, temos
f(x)=x^{1/3}=(1+t)^{1/3}.
Aplicando a série binomial com r=\tfrac13, obtemos
(1+t)^{1/3}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\tfrac13}{n}\,t^n.
Voltando a t=x-1,
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\tfrac13}{n}\,(x-1)^n.

Passo 3

Escrevendo explicitamente o coeficiente geral,
\binom{\tfrac13}{n} =\frac{\tfrac13\bigl(\tfrac13-1\bigr)\bigl(\tfrac13-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac13-(n-1)\bigr)}{n!}.
Logo a série fica
\displaystyle x^{1/3} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\tfrac13\bigl(\tfrac13-1\bigr)\bigl(\tfrac13-2\bigr)\cdots\bigl(\tfrac13-(n-1)\bigr)}{n!}\,(x-1)^n.

Passo 4

Para o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão a a_n=\binom{\tfrac13}{n}:
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\tfrac13-n}{n+1}\right| =1.
Portanto R=1, ou seja, a expansão converge para |x-1|<1.

Resposta

A série de potências de x^{1/3} em torno de a=1 é
x^{1/3} =\sum_{n=0}^{\infty} \binom{\tfrac13}{n}\,(x-1)^n,
onde
\binom{\tfrac13}{n} =\frac{\tfrac13(\tfrac13-1)\cdots(\tfrac13-n+1)}{n!},
e o raio de convergência é R=1.

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