Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto a e determine o raio de convergência.
f(x)=\cos x ; \quad a=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado pede a série de potências (expansão de Taylor) de f(x)=\cos x centrada em a=\tfrac{\pi}{3} e o seu raio de convergência. Para isso vamos usar a fórmula de Taylor e, de modo mais prático, a identidade de adição de ângulos para reescrever \cos x em termos de \cos(x-a) e \sin(x-a), cujas séries conhecemos bem.

Passo 2

Usamos a identidade de adição de ângulos com a=\tfrac{\pi}{3}. Como\r
\cos(x) = \cos\bigl((x-a)+a\bigr) = \cos(x-a)\,\cos(a)\;-\;\sin(x-a)\,\sin(a),\r
e sabemos que\r
\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac12, \quad \sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)=\tfrac{\sqrt3}{2},\r
segue-se que\r
\cos(x) = \tfrac12\,\cos(x-a)\;-\;\tfrac{\sqrt3}{2}\,\sin(x-a).

Passo 3

Agora expandimos cada termo em série de potências em torno de x=a, usando as séries padrão para \cos t e \sin t:\r
\cos t = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{t^{2k}}{(2k)!}, \qquad \sin t = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{t^{2k+1}}{(2k+1)!}.\r
Substituindo t = x-a em cada uma e multiplicando pelos coeficientes de \tfrac12 e -\tfrac{\sqrt3}{2}, obtemos\r
\cos(x) = \frac12 \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{(x-a)^{2k}}{(2k)!} \;-\; \frac{\sqrt3}{2} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{(x-a)^{2k+1}}{(2k+1)!}.

Passo 4

As séries de \cos t e \sin t têm raio de convergência infinito, pois são funções inteiras (analíticas em todo \mathbb{R}). Logo, a combinação acima também converge para todo x, ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A expansão em série de potências de \cos x em torno de a=\tfrac{\pi}{3} é\r
\cos(x) = \frac12 \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{(x-\tfrac{\pi}{3})^{2k}}{(2k)!} \;-\; \frac{\sqrt3}{2} \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\,\frac{(x-\tfrac{\pi}{3})^{2k+1}}{(2k+1)!},\r
e o raio de convergência é R = \infty.

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