Ache uma representação em série de potências para a função em torno do ponto
e determine o raio de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de potências (expansão de Taylor) de
centrada em
e o seu raio de convergência. Para isso vamos usar a fórmula de Taylor e, de modo mais prático, a identidade de adição de ângulos para reescrever
em termos de
e
, cujas séries conhecemos bem.
Passo 2
Usamos a identidade de adição de ângulos com
. Como\r
e sabemos que\r
segue-se que\r
Passo 3
Agora expandimos cada termo em série de potências em torno de
, usando as séries padrão para
e
:\r
Substituindo
em cada uma e multiplicando pelos coeficientes de
e
, obtemos\r
Passo 4
As séries de
e
têm raio de convergência infinito, pois são funções inteiras (analíticas em todo
). Logo, a combinação acima também converge para todo
, ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
A expansão em série de potências de
em torno de
é\r
e o raio de convergência é
.