Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as retas tangentes, tanto horizontais quanto verticais, ao gráfico definido pelas equações paramétricas:
Estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com derivadas de funções paramétricas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e
em relação a
e analisar as condições para tangentes horizontais e verticais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva:
Passo 4
Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a inclinação seja zero, ou seja,
:
Isso nos dá duas soluções para
:
Vamos encontrar as coordenadas
e
correspondentes a esses valores de
:
-
Para
: Ponto: -
Para
: Ponto:
Então, temos duas retas tangentes horizontais passando por esses pontos.
Passo 5
Para encontrar a reta tangente vertical, a inclinação deve ser indefinida, ou seja,
e
:
Agora, vamos encontrar as coordenadas
e
para
:
Então, a reta tangente vertical passa pelo ponto
e a equação da reta é:
Resposta
As retas tangentes horizontais ao gráfico são:
- Areta passando pelo ponto
. - Areta passando pelo ponto
.
A reta tangente vertical ao gráfico é: