Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
x = 3a t / (1 + t^3), y = 3a t^2 / (1 + t^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as retas tangentes, tanto horizontais quanto verticais, ao gráfico definido pelas equações paramétricas:
Estamos trabalhando com Cálculo, especificamente com derivadas de funções paramétricas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de e em relação a e analisar as condições para tangentes horizontais e verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas de e em relação a .
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada , que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto da curva:

Passo 4

Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a inclinação seja zero, ou seja, :
Isso nos dá duas soluções para :
Vamos encontrar as coordenadas e correspondentes a esses valores de :
  • Para :
    Ponto:
  • Para :
    Ponto:
Então, temos duas retas tangentes horizontais passando por esses pontos.

Passo 5

Para encontrar a reta tangente vertical, a inclinação deve ser indefinida, ou seja, e :
Agora, vamos encontrar as coordenadas e para :
Então, a reta tangente vertical passa pelo ponto e a equação da reta é:

Resposta

As retas tangentes horizontais ao gráfico são:
  1. Areta passando pelo ponto .
  2. Areta passando pelo ponto .
A reta tangente vertical ao gráfico é:

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