Ache a segunda derivada (
) das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a segunda derivada da função dada. A função fornecida é
Pergunta: calcular
, a segunda derivada de
em relação a
. Informação dada:
é um produto de duas funções de
:
e
.
Passo 2
Vamos lembrar duas regras de derivação que vamos usar (explicadinhas como se eu estivesse ao seu lado no caderno):
- Regra do produto: se
, então
Isto significa: derivar um fator de cada vez e somar, mantendo o outro fator sem derivar.
- Regra da cadeia (para exponencial): se
, então
Ou seja, a derivada do exponencial é o exponencial vezes a derivada do expoente.
Passo 3
Identificamos os fatores em
:
Agora calculamos as derivadas de cada fator separadamente.
Derivada de
:
Derivada de
usando a regra da cadeia. O expoente é
, cuja derivada é
. Logo
Passo 4
Aplicamos a regra do produto para obter
:
Agora podemos factorar
(fator comum) para simplificar a expressão:
Também podemos escrever
se quisermos factorização adicional.
Passo 5
Para achar
precisamos derivar
. Vamos usar a forma fatorada
que é novamente um produto. Aplicamos a regra do produto com
Já sabemos
(regra da cadeia). Calculamos
:
pois a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto para
:
Substituindo:
Passo 7
Factoramos
(que aparece em ambos os termos) para simplificar:
Agora desenvolvemos e somamos os termos dentro dos colchetes:
Somando com
obtemos
Passo 8
Portanto a forma simplificada da segunda derivada é
Podemos deixar exatamente assim — é uma forma clara e compacta, com o fator exponencial evidenciado.