Ache a segunda derivada ( f^{\prime \prime}(x) ) das funções seguintes:
A(t)=t^{2} e^{5 t-1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a segunda derivada da função dada. A função fornecida é
A(t)=t^{2}e^{5t-1}.
Pergunta: calcular A''(t), a segunda derivada de A em relação a t. Informação dada: A(t) é um produto de duas funções de t: t^{2} e e^{5t-1}.

Passo 2

Vamos lembrar duas regras de derivação que vamos usar (explicadinhas como se eu estivesse ao seu lado no caderno):
  • Regra do produto: se h(t)=u(t)\,v(t), então
h'(t)=u'(t)\,v(t)+u(t)\,v'(t).
Isto significa: derivar um fator de cada vez e somar, mantendo o outro fator sem derivar.
  • Regra da cadeia (para exponencial): se w(t)=e^{g(t)}, então
w'(t)=g'(t)\,e^{g(t)}.
Ou seja, a derivada do exponencial é o exponencial vezes a derivada do expoente.

Passo 3

Identificamos os fatores em A(t):
u(t)=t^{2},\qquad v(t)=e^{5t-1}.
Agora calculamos as derivadas de cada fator separadamente.
Derivada de u(t)=t^{2}:
u'(t)=2t.
Derivada de v(t)=e^{5t-1} usando a regra da cadeia. O expoente é g(t)=5t-1, cuja derivada é g'(t)=5. Logo
v'(t)=5\,e^{5t-1}.

Passo 4

Aplicamos a regra do produto para obter A'(t):
A'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=2t\cdot e^{5t-1}+t^{2}\cdot 5e^{5t-1}.
Agora podemos factorar e^{5t-1} (fator comum) para simplificar a expressão:
A'(t)=e^{5t-1}\bigl(2t+5t^{2}\bigr).
Também podemos escrever A'(t)=e^{5t-1}\,t(2+5t) se quisermos factorização adicional.

Passo 5

Para achar A''(t) precisamos derivar A'(t). Vamos usar a forma fatorada
A'(t)=e^{5t-1}\bigl(2t+5t^{2}\bigr),
que é novamente um produto. Aplicamos a regra do produto com
U(t)=e^{5t-1},\qquad V(t)=2t+5t^{2}.
Já sabemos U'(t)=5e^{5t-1} (regra da cadeia). Calculamos V'(t):
V'(t)=2+10t,
pois a derivada de 2t é 2 e a derivada de 5t^{2} é 10t.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto para A''(t)=\bigl(U(t)V(t)\bigr)':
A''(t)=U'(t)V(t)+U(t)V'(t).
Substituindo:
A''(t)=5e^{5t-1}\bigl(2t+5t^{2}\bigr)+e^{5t-1}\bigl(2+10t\bigr).

Passo 7

Factoramos e^{5t-1} (que aparece em ambos os termos) para simplificar:
A''(t)=e^{5t-1}\Bigl[5\bigl(2t+5t^{2}\bigr)+(2+10t)\Bigr].
Agora desenvolvemos e somamos os termos dentro dos colchetes:
5(2t)=10t,\qquad 5(5t^{2})=25t^{2}.
Somando com (2+10t) obtemos
25t^{2}+10t+2+10t=25t^{2}+20t+2.

Passo 8

Portanto a forma simplificada da segunda derivada é
A''(t)=e^{5t-1}\bigl(25t^{2}+20t+2\bigr).
Podemos deixar exatamente assim — é uma forma clara e compacta, com o fator exponencial evidenciado.

Resposta

A''(t)=e^{5t-1}\bigl(25t^{2}+20t+2\bigr)

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