Ache a segunda derivada ( f^{\prime \prime}(x) ) das funções seguintes:
f(x)=\cos (1-2 x)^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a segunda derivada, isto é f^{\prime\prime}(x), da função
f(x)=\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr).
Informações dadas importantes:
\text{Função: }f(x)=\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr).çã
Precisamos primeiro calcular f'(x) e, em seguida, derivar novamente para obter f^{\prime\prime}(x).

Passo 2

Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática sobre a regra da cadeia):
Se temos uma função composta \varphi(x)=\psi(u(x)), a derivada é
\varphi'(x)=\psi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui \psi é a função externa e u(x) a interna. No nosso caso a função externa é \psi(t)=\cos t e a interna é u(x)=(1-2x)^{2}.
Derivada da função externa: \psi'(t)=-\sin t. Agora calculamos u'(x).

Passo 3

Calcular u'(x) com a regra da cadeia aplicada a u(x)=(1-2x)^{2}:
u'(x)=2(1-2x)\cdot\frac{d}{dx}(1-2x).
Como \frac{d}{dx}(1-2x)=-2, obtemos
u'(x)=2(1-2x)\cdot(-2)=-4(1-2x).

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter f'(x):
f'(x)=\psi'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = -\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\cdot\bigl(-4(1-2x)\bigr).
Simplificando os sinais:
f'(x)=4(1-2x)\,\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr).
Comentário breve: ficou um produto de duas funções g(x)=4(1-2x) e h(x)=\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr), então para f''(x) vamos usar a regra do produto.

Passo 5

Regra do produto (explicação didática): se v(x)=g(x)h(x), então
v'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Aqui g(x)=4(1-2x) e h(x)=\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr).
Calculamos g'(x):
g'(x)=4\cdot\frac{d}{dx}(1-2x)=4\cdot(-2)=-8.
Calculamos h'(x) usando novamente a regra da cadeia: escrevendo h(x)=\sin(u(x)) com u(x)=(1-2x)^{2},
h'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Já calculamos u'(x)=-4(1-2x), então
h'(x)=\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\cdot\bigl(-4(1-2x)\bigr)=-4(1-2x)\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr).

Passo 6

Aplicando a regra do produto para f''(x):
f''(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x).
Substituindo os termos calculados:
f''(x) = (-8)\,\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr) + 4(1-2x)\cdot\bigl(-4(1-2x)\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\bigr).
Multiplicando o segundo termo:
f''(x) = -8\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr) -16(1-2x)^{2}\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr).

Passo 7

Opcional: fatorando um termo comum para ver estrutura (não obrigatório, só para visualização):
f''(x) = -8\Bigl[\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr) + 2(1-2x)^{2}\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr)\Bigr].

Resposta

f''(x)=-8\sin\bigl((1-2x)^{2}\bigr)-16(1-2x)^{2}\cos\bigl((1-2x)^{2}\bigr)

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