Ache a segunda derivada (
) das funções seguintes:
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a segunda derivada, isto é
, da função
Informações dadas importantes:
Precisamos primeiro calcular
e, em seguida, derivar novamente para obter
.
Passo 2
Relembrando a regra que vamos usar (explicação didática sobre a regra da cadeia):
Se temos uma função composta , a derivada é
Se temos uma função composta
Aqui
é a função externa e
a interna. No nosso caso a função externa é
e a interna é
.
Derivada da função externa: . Agora calculamos
.
Derivada da função externa:
Passo 3
Calcular
com a regra da cadeia aplicada a
:
Como
, obtemos
Passo 4
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter
:
Simplificando os sinais:
Comentário breve: ficou um produto de duas funções
e
, então para
vamos usar a regra do produto.
Passo 5
Regra do produto (explicação didática): se
, então
Aqui
e
.
Calculamos
:
Calculamos
usando novamente a regra da cadeia: escrevendo
com
,
Já calculamos
, então
Passo 6
Aplicando a regra do produto para
:
Substituindo os termos calculados:
Multiplicando o segundo termo:
Passo 7
Opcional: fatorando um termo comum para ver estrutura (não obrigatório, só para visualização):