Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=4 \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=4\sin x.
Informações dadas:
\text{equação: } y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=4\sin x,çã
o termo à direita é \;4\sin x, e queremos a solução geral (ou seja, solução homogênea + solução particular). Nada mais é pedido.

Passo 2

Encontrar a solução geral começa resolvendo a equação homogênea associada:
y^{(4)}+2y^{\prime\prime}+y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituindo y=e^{rx} obtemos a equação polinomial
r^{4}+2r^{2}+1=0.
Agora fatoramos o polinômio. Observamos que ele é um quadrado:
r^{4}+2r^{2}+1=(r^{2}+1)^{2}=0.
Logo r^{2}=-1, ou seja r=\pm i. Cada uma dessas raízes é de multiplicidade 2 (pois o fator (r^{2}+1) está ao quadrado).

Passo 3

Interpretação das raízes complexas repetidas e construção da solução homogênea.
Para um par de raízes complexas \alpha\pm i\beta com multiplicidade m, as soluções reais correspondentes têm a forma
x^{k}e^{\alpha x}\big(C\cos(\beta x)+D\sin(\beta x)\big),\qquad k=0,1,\dots,m-1.
Aqui \alpha=0, \beta=1 e m=2. Portanto os termos independentes do núcleo (solução homogênea) são (com constantes C_1,\dots,C_4)
y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x.
Explicando de forma leve: por causa da multiplicidade 2, além de \cos x e \sin x ainda aparecem os termos multiplicados por x.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para a equação completa. O segundo membro é 4\sin x. O método dos coeficientes indeterminados sugere tentar uma combinação de \cos x e \sin x. Contudo há ressonância: \cos x e \sin x já pertencem à solução homogênea; além disso, pela multiplicidade 2 da raiz complexa, precisamos multiplicar a tentativa por x^{2}. Assim fazemos a ansatz
y_{p}=x^{2}\big(A\cos x+B\sin x\big),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Compute as derivadas de y_{p} passo a passo. Para simplificar, defina
v(x)=A\cos x+B\sin x.
Então
v'(x)=-A\sin x+B\cos x,\qquad v''(x)=-v(x).
Agora calcule as derivadas de y_{p}=x^{2}v:
Derivada primeira:
y_{p}'=2xv+x^{2}v'.
Derivada segunda:
y_{p}''=2v+4xv'+x^{2}v''.
Usando v''=-v obtemos
y_{p}''=(2-x^{2})v+4xv'.
Derivada terceira:
y_{p}^{(3)}=\frac{d}{dx}\big((2-x^{2})v+4xv'\big)=(-2x)v+(2-x^{2})v'+4v'+4xv''.
Usando v''=-v e reorganizando:
y_{p}^{(3)}=(-6x)v+(6-x^{2})v'.
Derivada quarta:
y_{p}^{(4)}=\frac{d}{dx}\big((-6x)v+(6-x^{2})v'\big)=-6v-6xv'+(-2x)v'+(6-x^{2})v''.
Substituindo v''=-v e juntando termos:
y_{p}^{(4)}=(x^{2}-12)v-8xv'.

Passo 6

Agora substituímos na equação linear à esquerda:
y_{p}^{(4)}+2y_{p}''+y_{p}.
Usando as expressões obtidas:
y_{p}^{(4)}+2y_{p}''+y_{p}=\big((x^{2}-12)v-8xv'\big)+2\big((2-x^{2})v+4xv'\big)+x^{2}v.
Agrupando termos em v e v':
  • Coeficiente de v': -8x+8x=0.
  • Coeficiente de v: (x^{2}-12)+2(2-x^{2})+x^{2} = x^{2}-12+4-2x^{2}+x^{2}=-8.
Portanto
y_{p}^{(4)}+2y_{p}''+y_{p}=-8v=-8(A\cos x+B\sin x).
Queremos que isso seja igual a 4\sin x. Assim
-8(A\cos x+B\sin x)=4\sin x.
Igualando coeficientes de \cos x e \sin x:
-8A=0\quad\Rightarrow\quad A=0,
-8B=4\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{1}{2}.
Logo a solução particular é
y_{p}=x^{2}\big(0\cdot\cos x-(\tfrac{1}{2})\sin x\big)=-\tfrac{1}{2}x^{2}\sin x.

Passo 7

A solução geral é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x-\tfrac{1}{2}x^{2}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias reais. Você consegue ver como a ressonância exigiu o fator x^{2} na tentativa particular — isso é a parte que costuma confundir, mas o cálculo ficou certinho e simples.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)\cos x+(C_{3}+C_{4}x)\sin x-\tfrac{1}{2}x^{2}\sin x

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