Ache a solução geral de cada uma das equações diferenciais abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de ordem 4 com coeficientes constantes
Informações dadas:
o termo à direita é
, e queremos a solução geral (ou seja, solução homogênea + solução particular). Nada mais é pedido.
Passo 2
Encontrar a solução geral começa resolvendo a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituindo
obtemos a equação polinomial
Agora fatoramos o polinômio. Observamos que ele é um quadrado:
Logo
, ou seja
. Cada uma dessas raízes é de multiplicidade
(pois o fator
está ao quadrado).
Passo 3
Interpretação das raízes complexas repetidas e construção da solução homogênea.
Para um par de raízes complexas com multiplicidade
, as soluções reais correspondentes têm a forma
Para um par de raízes complexas
Aqui
,
e
. Portanto os termos independentes do núcleo (solução homogênea) são (com constantes
)
Explicando de forma leve: por causa da multiplicidade 2, além de
e
ainda aparecem os termos multiplicados por
.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa. O segundo membro é
. O método dos coeficientes indeterminados sugere tentar uma combinação de
e
. Contudo há ressonância:
e
já pertencem à solução homogênea; além disso, pela multiplicidade
da raiz complexa, precisamos multiplicar a tentativa por
. Assim fazemos a ansatz
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Compute as derivadas de
passo a passo. Para simplificar, defina
Então
Agora calcule as derivadas de
:
Derivada primeira:
Derivada segunda:
Usando
obtemos
Derivada terceira:
Usando
e reorganizando:
Derivada quarta:
Substituindo
e juntando termos:
Passo 6
Agora substituímos na equação linear à esquerda:
Usando as expressões obtidas:
Agrupando termos em
e
:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
:
Portanto
Queremos que isso seja igual a
. Assim
Igualando coeficientes de
e
:
Logo a solução particular é
Passo 7
A solução geral é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias reais. Você consegue ver como a ressonância exigiu o fator
na tentativa particular — isso é a parte que costuma confundir, mas o cálculo ficou certinho e simples.