Em cada problema abaixo, ache uma segunda solução da equação diferencial dada, conhecendo uma solução.
x^{2} y^{\prime \prime}+3 x y^{\prime}-y=0, x>0, y_{1}(x)=x^{-1}.

Passo 1

Enunciado e dados dados pelo exercício:
  • Equação diferencial: x^{2}y''+3x y'-y=0, com x>0.
  • Uma solução conhecida: y_{1}(x)=x^{-1}.
  • Pedido: achar uma segunda solução linearmente independente de y_{1}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Temos uma EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes que dependem de x.
  • Foi dada uma função candidata y_{1}(x)=x^{-1} que o enunciado afirma ser solução; precisamos verificar isso antes de usar métodos que assumem que y_{1} é solução.

Passo 2

Verificação direta: calcular y_{1}' e y_{1}'' e substituir na equação para checar se y_{1} satisfaz a EDO.
Calculemos as derivadas de y_{1}(x)=x^{-1}:
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-x^{-2},
y_{1}''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-2}\bigr)=2x^{-3}.
Substituindo em x^{2}y''+3x y'-y:
x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'-y_{1} = x^{2}\cdot 2x^{-3} + 3x\cdot(-x^{-2}) - x^{-1}.
Agora simplificamos termo a termo:
x^{2}\cdot 2x^{-3} = 2x^{-1},
3x\cdot(-x^{-2}) = -3x^{-1},
portanto
x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'-y_{1} =2x^{-1}-3x^{-1}-x^{-1} = -2x^{-1}.

Passo 3

Conclusão da verificação: o resultado da substituição é -2x^{-1}, que não é zero para x>0. Logo
x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'-y_{1} = -2x^{-1}\neq 0,
portanto y_{1}(x)=x^{-1} NÃO é solução da equação diferencial dada. Isso é um problema: métodos padrão para obter uma segunda solução (por exemplo, redução de ordem ou a fórmula que usa uma solução conhecida) exigem que a função fornecida seja de fato uma solução. Como a função dada não satisfaz a EDO, não há como usar essa função para gerar uma segunda solução da EDO indicada.

Passo 4

Implicação prática e sugestão útil (didática): quando recebemos uma função como “solução conhecida”, o primeiro passo é sempre verificar substituindo — como fizemos — porque, se ela não for solução, não existe “segunda solução correspondente” àquela função para a equação dada. Não vale aplicar fórmulas assumindo sem checar.
Para não deixar você na mão, mostro como seria o procedimento de redução de ordem caso a solução dada fosse realmente solução. Isto serve como receita para usar na prova quando a solução fornecida for correta.
Situação hipotética (apenas para ilustrar o método): suponha que a EDO fosse
x^{2}y''+x y'-y=0
(em que o coeficiente do termo y' é 1 em vez de 3). Verificação rápida mostraria que y_{1}=x^{-1} seria então solução. O método de redução de ordem para obter uma segunda solução y_{2} conhecida uma solução y_{1} passa por escrever a EDO na forma padrão
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
usar a fórmula
y_{2}=y_{1}\int \frac{e^{-\int P\,dx}}{y_{1}^{2}}\,dx
e calcular explicitamente.
No caso hipotético com coeficiente 1: dividir por x^{2} y''+\frac{1}{x}y'-\frac{1}{x^{2}}y=0, então P(x)=\dfrac{1}{x}. Calculando a integral:
\int P\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln x,\qquad e^{-\int P\,dx}=e^{-\ln x}=x^{-1}.
Como y_{1}^{2}=x^{-2}, o integrando fica \dfrac{x^{-1}}{x^{-2}}=x e a integral é \int x\,dx=\tfrac{1}{2}x^{2}. Assim
y_{2}=y_{1}\cdot \tfrac{1}{2}x^{2}=x^{-1}\cdot \tfrac{1}{2}x^{2}=\tfrac{1}{2}x.
(esta parte é só ilustrativa de como o procedimento funciona quando a solução dada é realmente solução da EDO em questão.)

Passo 5

Resumo e incentivo: como o enunciado forneceu y_{1}(x)=x^{-1} que não satisfaz a equação x^{2}y''+3x y'-y=0, não é possível obter uma “segunda solução” a partir dessa y_{1} para a EDO dada. Na prova, antes de usar redução de ordem, sempre substitua e verifique — isso evita perda de tempo com hipóteses falsas. Você já fez a parte mais importante: checar. Vai dar tudo certo, respira fundo e confia no processo!

Resposta

Não é possível encontrar uma segunda solução a partir de y_{1}(x)=x^{-1} porque y_{1} não é solução da equação dada: x^{2}y_{1}''+3x y_{1}'-y_{1}=-2x^{-1}\neq0.

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