Em cada problema abaixo, ache uma segunda solução da equação diferencial dada, conhecendo uma solução.
.
Passo 1
Enunciado e dados dados pelo exercício:
- Equação diferencial:
, com . - Uma solução conhecida:
. - Pedido: achar uma segunda solução linearmente independente de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Temos uma EDO linear de segunda ordem homogênea com coeficientes que dependem de
. - Foi dada uma função candidata
que o enunciado afirma ser solução; precisamos verificar isso antes de usar métodos que assumem que é solução.
Passo 2
Verificação direta: calcular
e
e substituir na equação para checar se
satisfaz a EDO.
Calculemos as derivadas de
:
Substituindo em
:
Agora simplificamos termo a termo:
portanto
Passo 3
Conclusão da verificação: o resultado da substituição é
, que não é zero para
. Logo
portanto
NÃO é solução da equação diferencial dada. Isso é um problema: métodos padrão para obter uma segunda solução (por exemplo, redução de ordem ou a fórmula que usa uma solução conhecida) exigem que a função fornecida seja de fato uma solução. Como a função dada não satisfaz a EDO, não há como usar essa função para gerar uma segunda solução da EDO indicada.
Passo 4
Implicação prática e sugestão útil (didática): quando recebemos uma função como “solução conhecida”, o primeiro passo é sempre verificar substituindo — como fizemos — porque, se ela não for solução, não existe “segunda solução correspondente” àquela função para a equação dada. Não vale aplicar fórmulas assumindo sem checar.
Para não deixar você na mão, mostro como seria o procedimento de redução de ordem caso a solução dada fosse realmente solução. Isto serve como receita para usar na prova quando a solução fornecida for correta.
Situação hipotética (apenas para ilustrar o método): suponha que a EDO fosse
(em que o coeficiente do termo
é
em vez de
). Verificação rápida mostraria que
seria então solução. O método de redução de ordem para obter uma segunda solução
conhecida uma solução
passa por escrever a EDO na forma padrão
usar a fórmula
e calcular explicitamente.
No caso hipotético com coeficiente
: dividir por
dá
, então
. Calculando a integral:
Como
, o integrando fica
e a integral é
. Assim
(esta parte é só ilustrativa de como o procedimento funciona quando a solução dada é realmente solução da EDO em questão.)
Passo 5
Resumo e incentivo: como o enunciado forneceu
que não satisfaz a equação
, não é possível obter uma “segunda solução” a partir dessa
para a EDO dada. Na prova, antes de usar redução de ordem, sempre substitua e verifique — isso evita perda de tempo com hipóteses falsas. Você já fez a parte mais importante: checar. Vai dar tudo certo, respira fundo e confia no processo!
Resposta
Não é possível encontrar uma segunda solução a partir de
porque
não é solução da equação dada:
.