Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO separável
usando a técnica de variáveis separáveis e checar por substituição. Vamos precisar conhecer a integração de
e de
.
Passo 2
Começamos isolando
e separando as variáveis. Como
, temos:
$$\frac{dy}{dx},e^{\pi x}=y^2+1
$$
ou
$$\frac{dy}{y2+1}=e{-\pi x},dx.
$$
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
$$\int\frac{dy}{y^2+1}=\int e^{-\pi x},dx.
$$
Do lado esquerdo,
. Do lado direito, usando
, com
, obtemos:
$$\int e^{-\pi x},dx=-\frac{1}{\pi}e^{-\pi x}+C.
$$
Passo 4
Assim chegamos a
$$\arctan(y)=-\frac{1}{\pi}e^{-\pi x}+C.
$$
Isolando
, aplicamos a tangente em ambos os lados:
$$y(x)=\tan\Bigl(C-\frac{1}{\pi}e^{-\pi x}\Bigr).
$$
Passo 5
Para checar, definimos
. Então
$$y(x)=\tan(u(x)),\quad u’(x)=e^{-\pi x}.
$$
Logo
$$y’(x)=u’(x)\sec2(u)=e{-\pi x}\bigl(1+\tan2(u)\bigr)=e{-\pi x}(1+y^2).
$$
Multiplicando por
volta-se à forma original:
$$y’(x)e^{\pi x}=y^2+1,
$$
confirmando que a solução está correta.