Ache a solução geral mostrando os passos utilizados na derivação. Cheque por substituição se a solução é correta. Use a técnica de EDO Separável.
(g) y^prime e^pi x=y^2+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável
y',e^pi x=y^2+1
usando a técnica de variáveis separáveis e checar por substituição. Vamos precisar conhecer a integração de 1/(y^2+1) e de e^-pi x.

Passo 2

Começamos isolando y' e separando as variáveis. Como y'=dfracdydx, temos:
$$\frac{dy}{dx},e^{\pi x}=y^2+1
$$
ou
$$\frac{dy}{y2+1}=e{-\pi x},dx.
$$

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
$$\int\frac{dy}{y^2+1}=\int e^{-\pi x},dx.
$$
Do lado esquerdo, integraldyy^2+1=integral e^-pi x,dx . Do lado direito, usando integraldyy^2+1=arctan(y), com integral e^a xdx=tfrac1ae^a x, obtemos:
$$\int e^{-\pi x},dx=-\frac{1}{\pi}e^{-\pi x}+C.
$$

Passo 4

Assim chegamos a
$$\arctan(y)=-\frac{1}{\pi}e^{-\pi x}+C.
$$
Isolando arctan(y)=-1pie^-pi x+C , aplicamos a tangente em ambos os lados:
$$y(x)=\tan\Bigl(C-\frac{1}{\pi}e^{-\pi x}\Bigr).
$$

Passo 5

Para checar, definimos u(x)=C-tfrac1pie^-pi x. Então
$$y(x)=\tan(u(x)),\quad u’(x)=e^{-\pi x}.
$$
Logo
$$y’(x)=u’(x)\sec2(u)=e{-\pi x}\bigl(1+\tan2(u)\bigr)=e{-\pi x}(1+y^2).
$$
Multiplicando por y(x)=tan(u(x)), u'(x)=e^-pi x volta-se à forma original:
$$y’(x)e^{\pi x}=y^2+1,
$$
confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=tanl(C-1pie^-pi xr)

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