Calcule integralS integral F d S onde
F(x, y, z)=(2 x+y^6+sin (z^5 y^7), 2 x y+cos (8 z^7), e^y x cos (x^2 y^3))
e S é a fronteira da região sólida E delimitada pelos parabolóides z=7-x^2-y^2 e z=x^2+y^2-1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de superfície F(x, y, z) = (2x + y^6 + sin(z^5 y^7), 2xy + cos(8 z^7), e^yx cos(x^2 y^3)) , onde o campo vetorial é dado por:
A superfície é a fronteira da região sólida delimitada pelos parabolóides e .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar a integral de superfície em uma integral de volume. Assim, precisaremos calcular a divergência do campo e integrar sobre o volume .

Passo 2

Vamos começar calculando a divergência de nabla cdot F = partial F1partial x + partial F2partial y + partial F3partial z . A divergência de um campo vetorial partial F1partial x = partialpartial x(2x + y^6 + sin(z^5 y^7)) = 2 é dada por:
partial F2partial y = partialpartial y(2xy + cos(8 z^7)) = 2x
Calculando cada termo:
partial F3partial z = partialpartial z(e^yx cos(x^2 y^3)) = 0
nabla cdot F = 2 + 2x
Portanto, a divergência é:

Passo 3

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaE (nabla cdot F), dV = integral triplaE (2 + 2x), dV
Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas x = r costheta, y = r sintheta, z = z , já que a região 7 - r^2 = r^2 - 1 implies 2r^2 = 8 implies r^2 = 4 implies r = 2 é simétrica em relação ao eixo .
Em coordenadas cilíndricas:
A região é limitada pelos parabolóides e . Além disso, os parabolóides se intersectam quando:
Portanto, varia de 0 a 2 e de 0 a .

Passo 4

Expressando a integral em coordenadas cilíndricas:
integral triplaE (2 + 2x), dV = integral0^2pi integral0^2 integralr^2 - 1^7 - r^2 (2 + 2r costheta) cdot r , dz, dr, dtheta
Aqui, vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas ( ).

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integralr^2 - 1^7 - r^2 dz = (7 - r^2) - (r^2 - 1) = 8 - 2r^2 :
integral0^2pi integral0^2 (2 + 2r costheta) cdot r cdot (8 - 2r^2), dr, dtheta
Substituindo na integral:
integral0^2pi integral0^2 [16r - 4r^3 + 16r^2 costheta - 4r^4 costheta], dr, dtheta
Distribuindo os termos:
integral0^2pi costheta, dtheta = 0
Observamos que os termos que contêm integral0^2pi integral0^2 (16r - 4r^3), dr, dtheta se anulam ao integrar de 0 a , pois:
Portanto, a integral simplifica para:

Passo 6

Vamos primeiro integrar em relação a integral0^2 (16r - 4r^3), dr = [8r^2 - r^4]0^2 = (8 cdot 4 - 16) - 0 = 32 - 16 = 16 :
integral0^2pi 16, dtheta = 16 cdot 2pi = 32pi
Agora, integramos em relação a :

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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