Calcule
onde
e
é a fronteira da região sólida
delimitada pelos parabolóides
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular a integral de superfície
, onde o campo vetorial
é dado por:
A superfície
é a fronteira da região sólida
delimitada pelos parabolóides
e
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos permite transformar a integral de superfície em uma integral de volume. Assim, precisaremos calcular a divergência do campo
e integrar sobre o volume
.
Passo 2
Vamos começar calculando a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
Calculando cada termo:
Portanto, a divergência é:
Passo 3
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
Para simplificar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas
, já que a região
é simétrica em relação ao eixo
.
Em coordenadas cilíndricas:
A região
é limitada pelos parabolóides
e
. Além disso, os parabolóides se intersectam quando:
Portanto,
varia de 0 a 2 e
de 0 a
.
Passo 4
Expressando a integral em coordenadas cilíndricas:
Aqui,
vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas (
).
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Substituindo na integral:
Distribuindo os termos:
Observamos que os termos que contêm
se anulam ao integrar de 0 a
, pois:
Portanto, a integral simplifica para:
Passo 6
Vamos primeiro integrar em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.