Ache a solução geral dos sistemas de equações dados abaixo
\left{\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+e^{t} \\ x_{2}^{\prime}(t)=2 x_{1}(t)+4 x_{2}(t)+e^{2 t}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de EDOs lineares de primeira ordem, não homogêneo:
Vamos resolver em duas etapas: primeiro achar a solução geral do sistema homogêneo associado usando autovalores e autovetores, e depois encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados. A solução geral será a soma da parte homogênea com a parte particular.
Para cada \lambda_i\) achamos um autovetor \(v_i\):
- Se \(\lambda=\lambda_1=\tfrac{5+\sqrt{17}}{2}\), então
\[(A-\lambda_1 I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} (1-\lambda_1)x+y=0,\\\\ 2x+(4-\lambda_1)y=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; y=(\lambda_1-1)x.