Ache a solução geral dos sistemas de equações dados abaixo
\left{ \begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+e^{t} \\ x_{2}^{\prime}(t)=2 x_{1}(t)+4 x_{2}(t)+e^{2 t}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de EDOs lineares de primeira ordem, não homogêneo:
\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{1}(t)+x_{2}(t)+e^{t},\\\ x_{2}'(t)=2\,x_{1}(t)+4\,x_{2}(t)+e^{2t}. \end{cases}
Vamos resolver em duas etapas: primeiro achar a solução geral do sistema homogêneo associado usando autovalores e autovetores, e depois encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados. A solução geral será a soma da parte homogênea com a parte particular.

Passo 2

Escrevendo em forma matricial temos
x'(t)=A\,x(t)+f(t),
onde
A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&4\end{pmatrix},\qquad f(t)=\begin{pmatrix}e^{t}\e^{2t}\end{pmatrix}.
Para o homogêneo x'(t)=A\,x(t), procuramos autovalores \lambda tais que
\det(A-\lambda I)=0 \;\Longrightarrow\; \det\begin{pmatrix}1-\lambda&1\\\ 2&4-\lambda\end{pmatrix} =(1-\lambda)(4-\lambda)-2=0.
Isso dá
\lambda^{2}-5\lambda+2=0 \;\Longrightarrow\; \lambda_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}.

Passo 3

Para cada \lambda_i\) achamos um autovetor \(v_i\): - Se \(\lambda=\lambda_1=\tfrac{5+\sqrt{17}}{2}\), então \[(A-\lambda_1 I)v=0 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} (1-\lambda_1)x+y=0,\\\\ 2x+(4-\lambda_1)y=0 \end{cases} \;\Longrightarrow\; y=(\lambda_1-1)x.
Podemos escolher (v_1= \begin{pmatrix}1\\lambda_1-1\end{pmatrix}.]
  • Se \lambda=\lambda_2=\tfrac{5-\sqrt{17}}{2}, analogamente v_2=\begin{pmatrix}1\\lambda_2-1\end{pmatrix}.
Logo a solução geral do homogêneo é
x_{h}(t) =C_{1}e^{\lambda_{1}t}v_{1} +C_{2}e^{\lambda_{2}t}v_{2}.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular do tipo
x_{p}(t)=a\,e^{t}+b\,e^{2t},
com a,b\in\mathbb{R}^{2}.
Então
x_{p}'(t)=a\,e^{t}+2\,b\,e^{2t},
e a equação x'=A\,x+f dá, agrupando termos em e^{t} e e^{2t}:
\begin{cases} (I - A)\,a=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\\\ (2I - A)\,b=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}. \end{cases}

Passo 5

Calculamos as matrizes:
I-A=\begin{pmatrix}0&-1\\\ -2&-3\end{pmatrix}, \quad 2I-A=\begin{pmatrix}1&-1\\\ -2&-2\end{pmatrix}.
Resolvendo
\begin{pmatrix}0&-1\\\ -2&-3\end{pmatrix}a =\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; a=\begin{pmatrix}\tfrac32\\\ -1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1&-1\\\ -2&-2\end{pmatrix}b =\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} \;\Longrightarrow\; b=\begin{pmatrix}-\tfrac14\\\ -\tfrac14\end{pmatrix}.
Logo
x_{p}(t) =\begin{pmatrix}\tfrac32\\\ -1\end{pmatrix}e^{t} +\begin{pmatrix}-\tfrac14\\\ -\tfrac14\end{pmatrix}e^{2t}.

Passo 6

A solução geral do sistema é
x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t) =C_{1}e^{\lambda_{1}t} \begin{pmatrix}1\\lambda_{1}-1\end{pmatrix} +C_{2}e^{\lambda_{2}t} \begin{pmatrix}1\\lambda_{2}-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}e^{t}-\tfrac{1}{4}e^{2t}\\[6pt]-e^{t}-\tfrac{1}{4}e^{2t}\end{pmatrix},
onde \lambda_{1,2}=(5\pm\sqrt{17})/2 e C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.]

Resposta

x_{1}(t) =C_{1}e^{\frac{5+\sqrt{17}}{2}t} +C_{2}e^{\frac{5-\sqrt{17}}{2}t} +\frac32\,e^{t}-\frac14\,e^{2t},
x_{2}(t) =C_{1}(\tfrac{5+\sqrt{17}}{2}-1)\,e^{\frac{5+\sqrt{17}}{2}t} +C_{2}(\tfrac{5-\sqrt{17}}{2}-1)\,e^{\frac{5-\sqrt{17}}{2}t} -e^{t}-\frac14\,e^{2t}.

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